Et – случайная составляющая

Во временных рядах могут наблюдаться тенденции трёх видов: тенденции среднего уровня; тенденции дисперсии; тенденции автокорреляции.

Тенденции среднего уровня характеризуют график временного ряда. Он выражается в виде функции f(t), вокруг которой варьируют фактические значения показателей.

Тенденции дисперсии – изменение отклонений эмпирических значений временного ряда от значений, вычисленных по уравнению тренда.

Тенденция автокорреляции – это тенденция изменения связи между отдельными уровнями временного ряда (результативного признака).

Один из способов выявления тенденции разработан Ф. Фостером и А. Стюартом. Согласно этому методу, необходимо определить величины U_t и l _t путём последовательного сравнения уровней ряда.

Если какой-либо уровень ряда превышает по своей величине каждый из последующих уровней, то величине Ut присваивается значение 1, а в остальных случаях она равна 0, т.е.

1, если У_t> У_t-1, У_t-2, …У₁

U_t = 0 - в остальных случаях,

и наоборот, если уровень ряда меньше всех предыдущих, то величина l_t равна 1:

1, если У_t< У_t-1, У_t-2, …У₁

l _t = 0 - в остальных случаях.

Затем находят величины S и d по формулам:

S = S_t, где S_t = U_t + l_t;

d = d_t, где d_t = U_t - l_t.

С помощью величины S можно проверить, существует ли тенденция изменения в дисперсиях, а с помощью d – обнаружить тенденции в средней. С этой целью проверяются две гипотезы:

1) существенно ли отличается d от 0;

2) существенно ли отличается S от [М],

где [М] – математическое ожидание величины S.

Для проверки гипотезы рассчитывают значения величины Т по формуле:

Т₁ = ; Т₂ = ,

где – среднеквадратическая ошибка S;

– среднеквадратическая ошибка d.

Значения [М], , табулированы для различных значений n (приложение 1).

Значения Т₁ и Т₂ после определения сравниваются с табличным t_кр (приложение 2). Если t_кр>Т₁, то гипотеза о наличии тенденции средней подтверждается; если t_кр>Т₂, то гипотеза о наличии тенденции дисперсий подтверждается, и наоборот.

После выявления наличия тенденции временного ряда переходят к его моделированию.

Моделирование и обнаружение тенденции временного ряда

Наиболее распространенным способом моделирования тенденции временного ряда является сглаживание (аналитическое выравнивание) временного ряда – замена фактических уровней расчетными. Наибольшее распространение имеют линейные тренды:

где – выравненное значение уровня в момент t;

– вес, приписываемый уровню ряда, находящемуся на расстоянии от момента t;

S – число уровней после момента t;

q – число уровней до момента t.

Процесс аналитического выравнивания состоит из двух этапов:

- выбора типа кривой;

- оценки параметров кривой.

Наиболее простым способом выбора типа кривой является построение графика эмпирических данных. По виду графика выбирается зависимость. Наиболее часто используются:

– полиномы:

_t = а₀ + а₁t – первой степени;

_t = а₀ + а₁t + а₂t² – второй степени;

_t = а₀ + а₁t + а₂t² + а₃t³ – третьей степени;

– различные экспоненты:

_t = и др.

Для выбора типа кривой применяется также метод последовательных разностей, сущность которого заключается в нахождении первых, вторых и т.д. разностей уровней, т.е.:

и т.д.

Расчет этих разностей ведётся до тех пор, пока разности не будут приблизительно равными. Порядок этих разностей и принимается за порядок полинома.

Для обнаружения тенденции временных рядов изучаются также изменения показателей за ряд периодов с помощью показателя среднего абсолютного прироста.

Величины абсолютных приростов П_р определяются как разность между последующим и предыдущим уровнями показателя:

П_р1 = х₂ – х₁; П_р2 = х₃ – х₂; П_р3 = х₄ – х₃; П_рn-1 = х_n – х_n-1.

Число приростов всегда на единицу меньше числа уровней ряда.

Средний абсолютный прирост динамического ряда за период определяется:

.

Для составления прогноза с помощью среднего абсолютного прироста исходный ряд преобразуется, получаем ряд у₁, у₂, у₃…у_n, где у₂ = у₁+ ; у₃ = у₂+ ; у_n = у_n-1+ . Теоретически доказано, что данный ряд хорошо отображает тенденцию изменения уровней исходного ряда, если дисперсия исходного ряда относительно преобразованного меньше или равна половине среднего квадрата абсолютных приростов:

;

где

При выполнении данного условия считается, что с помощью преобразованного ряда уровни исходного ряда очищаются от случайной компоненты, и можно приступать к прогнозированию.

Изучение изменений показателей за ряд периодов может проводиться с помощью скользящей средней.

С помощью скользящей средней прогнозируемые значения ряда можно вычислить, используя различные алгоритмы с учетом двух-трёх и более точек предыстории:

, (k = 2,3…n).

При k = n, прогнозируемое значение ряда в момент времени t_n+1 равно среднему арифметическому всех значений, при t_n+1 – соответствующему среднему значению из (k) точек, непосредственно предшествующих прогнозируемой.

Адаптивные модели краткосрочного прогнозирования

Одним из направлений анализа является построение адаптивных моделей. Оценка параметров этой модели базируется на исходном временном ряде (фактических значений показателя за определенный период времени, которые используются для последующей корректировки показателей).

На основе новых данных, полученных на каждом шаге во времени (t), происходит дальнейшая корректировка (адаптация) параметров модели к новым условиям развития. Таким образом, модель постоянно обновляется на основании новой информации и приспосабливается к ней. Такие модели используются для прогнозирования изменения ежедневных остатков запасов на складах, изменения остатков денежных средств, частоты отказов оборудования, изменения курса акций и др.

Адаптивные модели дают более надежные результаты, чем регрессионные модели, которые «эксплуатируют» устаревшие, необновленные данные.

Простейшая адаптационная модель основывается на вычислении так называемой экспоненциальной средней.

Предположим, что исследуется временной ряд Х_t. Экспоненциальное сглаживание – один из простейших приёмов выравнивания ряда. В его основе лежит расчет экспоненциальных средних.

При этом используется формула:

S_t = ax_t+bS_t-1,

где St – значение экспоненциальной средней в момент времени t;

a – параметр сглаживания (a=const, 0<a<1);

b=1-a;

S_t-1 – предыдущее значение средней величины.

Приведенную выше формулу можно представить в следующем виде (вместо b подставим её значение):

S_t = aХ_t + (1-a)S_t-1 = aХ_t + S_t-1 - aS_t-1 = S_t-1 + a(Х_t - S_t-1),

где Х_t-S_t-1 – погрешность прогноза;

S_t-1 – прогноз средней на один шаг вперед.

Чем меньше a, тем меньше вариация (отклонения). В частности, если S_t-1 рассматривать как прогноз на шаг вперёд, то величина Х_t-S_t-1 есть погрешность этого прогноза, а новый прогноз S_t получается в результате корректировки предшествующего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит сущность адаптации.

Обоснованным методом выявления тенденции является построение закона распределения.

Наиболее простым в построении (так как имеет один параметр) является экспоненциальное распределение, которое используется в том случае, когда случайная величина «Х» изменяется под воздействием случайных факторов (например, изменение стоимости курса акций, среднее время безотказной работы оборудования и др.)

Для того чтобы построить закон распределения, необходимо: собрать исходную информацию о случайной величине; проверить достоверность исходной информации; построить группировку; построить гистограмму и принять гипотезу о возможном законе распределения; рассчитать параметры выбранного закона распределения; построить кривую распределения; проверить достоверность принятого закона распределения (по критерию согласия Пирсона); сделать прогноз.

Плотность распределения экспоненциального закона распределения имеет вид:

f(x)=le^- ,

где l – интенсивность наступления события (является постоянной величиной).

Это значит, что среднее число величины х – величина постоянная:

М(х)=

Основными характеристиками экспоненциального распределения являются:

- вероятность наступления события х-Р(х);

- среднее значение случайной величины х-М(х);

- интенсивность наступления величины х-l(х).

Вероятность наступления события определяется по формуле:

Р(х)=l^-lx.