Теорема умножения вероятностей

Определение 4. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий (совмещение этих событий).

Например, если А – деталь стандартная; В – деталь окрашенная, то – деталь стандартная и окрашенная.

Определение 5. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместн6ом появлении всех этих событий.

Например, если А, В, С – появление герба (орла) в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС – появление герба (орла) во всех трех бросаниях.

Определение 6. Вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А уже произошло называется условной вероятностью события В и обозначается: .

Пример 1. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность: .

Исходя из классического определения вероятности можно вывести формулу для нахождения условной вероятности:

(1)

По этой формуле найдем в рассмотренном выше примере.

Вероятность появления черного шара в первом испытании: . Найдем вероятность , того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором – белый. Общее число исходов совместного появления двух шаров безразлично какого цвета равно числу размещений: = 6·5 = 30. из этого числа исходов событию АВ благоприятсвуеют: 3·3 = 9 исходов. Следовательно: ;

.

Результаты в решениях совпадают.

Рассмотрим два события А и В и пусть известны вероятности Р (А) и Р_А (В). Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е. вероятность того, что появится и событие А и событие В.

Ответ на этот вопрос дает теорема умножения вероятностей.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предложении, что первое событие уже произошло:

. (2)

Доказательство. По формуле (1) имеем:

, отсюда (3)

Следствие 1. Применим формулу (2) с событию ВА:

Но так как события АВ и ВА не отличаются друг от друга, то справедлива формула:

(4)

Следствие 2. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

;

где – вероятность события A_n, вычисленная в предположении, что события наступили.

Для трех событий А, В, С имеем: .

Порядок событий при этом безразличен.

Пример 2. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Наудачу вынимают по одному шару 3 раза и не возвращают их обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В) и при третьем– синий (событие С).