Практичне заняття 2. Теореми множення і додавання ймовірностей

Теореми множення і додавання ймовірностей

Ймовірність події В, визначена у припущенні, що подія А відбулася, називається умовною ймовірністю події В і позначається , або

Умова незалежності події В від події А визначається рівністю

Добутком двох подій називається подія, що полягає в настанні і події А, і події В.

Приклад. Дівчинка узяла стигле жовте яблуко. Подія «стигле жовте» є добутком події «стигле» і «жовте».

Теорема множення ймовірностей. Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену за умови, що перша подія відбулася:

Наслідок 1. Якщо подія В не залежить від події А, то і подія А не залежить від події В.

Наслідок 2. Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей:

Ймовірність добутку декількох подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій, причому ймовірність кожної наступної по порядку події обчислюється за умови, що всі попередні відбулися:

Приклад. У коробці міститься 5 білих, 4 чорних та 3 синіх кулі. Три рази достають по одній кулі, не повертаючи їх назад. Знайти ймовірність того, що перший раз дістали білу кулю, другий – чорну, третій – синю.

Розв’язання. Нехай подія А - перший раз дістали білу кулю;

В - другий раз дістали чорну кулю;

С - третій раз дістали синю кулю.

Потрібно обчислити ймовірність добутку подій: Р(АВС). За теоремою добутку ймовірностей залежних подій

Сума А+В подій А і В - подія, що полягає в тому, що або подія А або подія В має місце.

Приклад. Дівчинка узяла або жовте, або червоне яблуко. Подія «яблуко або жовте, або червоне» є сумою подій «жовте яблуко» і «червоне яблуко».

Теорема додавання ймовірностей. Ймовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх добутку:

Наслідок 1. Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей:

Наслідок 2. Сума ймовірності подій, що утворюють повну групу несумісних подій, дорівнює одиниці.

Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

Приклад. Ймовірність попадання по мішені при пострілі першого і другого стрільців відповідно дорівнюють р₁=0.7 та р₂=0.8. Знайти ймовірність того, що при одному залпі обох стрільців хоча б один влучить у ціль.

Розв’язання. Нехай подія А -влучив перший стрілець; В - влучив другий стрілець. Події А та В – незалежні сумісні події. За теоремою додавання ймовірностей подій маємо: