Практичне заняття 1. Випадкові події та їх ймовірність

Випадкові події та їх ймовірність. Безпосереднє обчислення ймовірностей. Комбінаторика

Під подією розуміють будь-який факт дійсності. Випробування -це здійснення визначеного набору умов.

Приклад. Підкидання монети –випробування, результат (випадання герба чи цифри) – подія. Тут і в подальшому припускаємо, що падіння монети на ребро не розглядається, оскільки це нестійкий стан рівноваги, а монета, яка вивчається, достатньо тонка.

Усі події (явища) дійсності можна розділити на три види: достовірні, неможливі та випадкові.

Подія називається достовірною, якщо вона обов’язково виникне в умовах даного випробування.

Подія називається неможливою, якщо вона в умовах даного випробування свідомо не відбудеться.

Подія називається випадковою, якщо вона може статися, або не статися в даному випробуванні.

Приклад. Після вівторка настане середа – подія достовірна. Вода перетвориться в лід при температурі +30° С – подія неможлива. У четвер піде дощ – подія випадкова.

Події будемо позначати великими літерами А, В, … При цьому достовірну подію будемо позначати літерою W, а неможливу подію – символом? - пуста множина.

Події називаються рівноможливими, якщо є підстави вважати, що не одна із цих подій не є більш можливою, ніж будь-яка інша з них. Дві події називаються протилежними, якщо відбувається одна з них, друга подія не відбувається. Якщо подія позначена А, то протилежну їй позначають Ā. Випадкові події називаються несумісними, якщо жодні дві з них не можуть з’явитися разом.

Приклад. Випадання будь-якої цифри при киданні ігрової кості – рівноможливі несумісні і протилежні події. Дощ і хмари на небі – сумісні події, зима і літо - несумісні події.

Якщо будь-яка із подій відбувається незалежно від реалізації будь-якої комбінації інших подій, то вони називаються незалежними в сукупності. Якщо поява однієї з подій впливає на можливість появи іншої, вони називаються залежними.

Приклад. Наявність продуктів у різних, не пов’язаних один з іншим, магазинах – події незалежні в сукупності. Ціна бензину залежить від рівня цін на нафту. А кількість зірок на небі не залежить від числа наших бажань.

Декілька подій у даному дослідженні формують повну групу подій, якщо в результаті дослідження обов’язково станеться хоча б одна з них. Якщо події, які формують повну групу, несумісні, то поява однієї і тільки однієї із них є достовірною подією. Дві несумісні події, які формують повну групу подій, є протилежними.

Приклад. Випадання герба чи цифри при підкиданні монети формують повну групу подій. Здійснені покупки будь-якого предмета із партії розпроданного до кінця дня товару задають повну групу подій – групу здійснених покупок.

Класичне означення ймовірності

Ймовірністю події А називається відношення числа випадків тих, що сприяють цій події m, до числа всіх можливих випадків, які формують повну групу несумісних рівноможливих подій, n:

Поняття ймовірності дозволяє дати нові визначення для різних видів подій. А саме, подія В називається незалежною від події А, якщо ймовірність події В не залежить від того, відбулася подія А чи не відбулася. Подія В називається залежною від події А, якщо ймовірність події В залежить від того, відбулася чи не відбулася подія А.

Властивості ймовірності

1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці:

2. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю:

3. Ймовірність випадкового числа є додатне число, менше від одиниці:

Основні формули комбінаторики