Вычисление вычетов в приложении к несобственным интегралам

аналитична в верхней полуплоскости

и на самой прямой – на R () за исключением конечного числа особых точек,

Лемма Жордана

Д.

Т.

Пусть ф. аналитична в верхней полуплоскости и на действительной прямой за исключением конечного числа особых точек в верхней полуплоскости.

В равенстве (*) перейти к

Пример:

Мероморфные функции.

- мероморфна в D, если аналитична в D за исключением полюсов

Т1.

Пусть мероморфна в D

z= a –полюс или ноль

имеет простой полюс в а

Д.

1) - полюс кратности т.

- аналитическое слагаемое

2) - нуль порядка n

- аналитическое слагаемое

Порядок мероморфной функции.

Опр.

Порядок в точке равен r, где:

1) r=-m, если - m-кратный полюс;

2) r=n, если - нуль порядка n;

3) r=0, если - не полюс и не ноль.

Т2. О логарифмическом вычете.

Вычет логарифмической производной в т. равен порядку ф. в этой точке:

Д.

1) - полюс

2) - ноль

3) - не полюс, не ноль

- аналитична в

Т3. Принцип аргумента.

N – количество нулей

P – количество полюсов

N-P – разность нулей полюсов

N-P – количество оборотов вокруг нуля

Т4. (Руше)

Пусть ф. и аналитична внутри L и на L

, если

имеют одинаковое количество нулей внутри области L

Д.

На L:

- число нулей

- число нулей

Мероморфные функции

F(z) – мероморфна в D, если f(z) аналитична в D за исключением полюсов z_1, …,z_k

Рисунки

Т1. пусть f(z) мероморфна в D, z_o=a –полюс или нуль имеет простой полюс в a (логарифмическая производная f(z)).

Док-во:

1) z=a- полюс кратности m

2) z=a – нуль порядка n

f(z)=

Порядок мероморфной функции

Порядок f(z) в точке a равен r, где 1)r = -m, если a-m – кратный полюс

2)r = n, если а – нуль порядка n

3)r = 0, если а не полюс и не нуль

Теорема2 (о логарифмическом вычите)

Вычит логарифмической производной в точке а равен порядка функции в этой точке.

Док-во:

1) a – полюс

2) а – нуль

3) а – не полюс и не нуль

- аналитична в U_a

Т3 (принцип аргумента)

Т4 (Руше)

f(z) (z) аналитична внутри L и на L

> f(z)+ (z) имеют одинаковое количество нулей внутри L

Док-во:

На L:f(z)

N – число нулей f(z)

N₁ – число нулей f(z)+ (z)

Пример:

Найти сколько нулей-?

на

на

z⁴-3z+1=0 – имеет один нуль

операционное исчисление

f(t) принадлежит классу оригиналов

F(p) принадлежит классу изображений

1. 2.

Изменение задачи в класс изображений

О И

решение в О И О решение в И

f(t) оригинал, если

1)f(t) t<0

2) f(t) – кусочно непрерывная –это функция которая может иметь разрывы только 1-го рода. На каждом конечном отрезке конечное число разрывов.

3)

S_o=min{S} S_o- показатель роста

- изображение

F(p)=L(f(t) (p)

F(p)- комплексная функция

p=x+iy

Аналитична при x>S₀

F(p) определ. при x>S₀ т.е. Rep>S₀

Рисунок

Свойства

1.

.

2.Линейность

L(c₁f₁+c₂f₂)=c₁L(f₁)+c₂L(f₂)

3.точка единственности

непрерывны

Рисунок

Рисунок

Т. Подобия

F(t)

Док-во:

dt=u

Т. смещения

Док-во:

Т. (диф. изображения)

Док-во:

Т. (диф.оригинала)

Док-во: