Линейные д.у

Теорема множество решений однородного ур-я (2) образуют линейные пространства

Д-во: L – линейное пр-во для элементов , const

(и 8 аксиом)

пусть у₁,у₂ – решение (2)

рассмотрим их лин. комбинацию:

Система функций называется Л.Н., если равенство

выполняется

Л.З, если

для любых рассматриваемых ф-ций

Теорема 1 Система функций Л.З. когда одна из них является линейной комбинацией

всех остальных.

- линейно зависима

Д-во:

например

например является линейной комбинацией

Следствие: если система содержит функцию эта система Л.З.

2 вектора Л.З. когда они колиниарны

2 функции: Л.З. или ,

т.е. одна функция линейно выражается через другую

Определитель Вронского

Теорема 2 пусть система ф-ций Л.З.

их определитель Вронского , т.е.

Д-во:

Теорема 3 пусть решение ур-я (2)

или

Д-во: (n=2)

решения

Определитель Вронского для системы решений удовлетворяет дифф-му ур-ю:

допустим, при значении

- Лиувиль

Теорема 4 пусть решения ур-я (2)

система решений - Л.Н.

Теорема 5 пусть Л.Н. решения ур-я (2)

функция является общим решением (2)

чтобы выписать общее решение однородного ур-я, нужно найти

n – Л.Н. частных решений

Д-во: 1) - решение - доказано

2) при начальных условиях набор констант

начальных условиях

введем начальное условие:

получим систему n – го порядка относительно констант

система (***) имеет единственное решение , т.е. константы определяются единственным образом.

Теорема 6 Л.Н. решения ур-я (2)

- решение (1)

общее решение неоднородного уравнения (1)

(здесь общее решение (2))

Д-во: 1) - решение (1)

- решение (1)

2) подставим начальные условия:

Уравнения с постоянными коэффициентами

(2.1) однородное уравнение 2го порядка

подберем так, чтобы было решением

1)

2)

Теорема 7 если функция является решением однородного ур-я (2)

тоже являются решениями (2)

Д-во:

отделим действительную часть от мнимой:

из Т. следует, что в качестве решения можем брать действительную и мнимую части:

3) есть только одно решение

подберем второе решение, чтобы не являлось Const

многочлен n-ной степени

пусть - корень уравнения (3) кратности m

ф-ция: решение (2)

если n - кратный корень, то есть m Л.Н. частных решений.