Степенные ряды комплексных чисел

n

∞

(1) ∑ a zⁿ

n=0

Теорема Абеля.

Пусть (1) сходится при z=z => (1) сходится абсолютно при любом z:

׀ z׀<׀z ׀.

Пусть (1) расходится или сходится неабсолютно при z=z => (1) расходится при любом z: ׀ z׀<׀z ׀.

Доказательство как раньше (в теореме Абеля для некомплексных чисел вместо ׀х׀ используем ׀z ׀).

Следствие.

Ряд (1) сходится абсолютно при ׀ z׀>R, где R – радиус сходимости.

n+1

n

R=lim ׀a /a ׀

∞

n

(1 ́) ∑ a (z-a) ⁿ

n=1

z

1 + z + z²/2! + z³/3! +…+ z ⁿ /n! +…= e (2) – сходится абсолютно при любом z

z=x (ЄR)

x

e =1+x+x²/2+… - сходится (- ∞; ∞)

a =a ∙a (x и z с индексами 1 и 2)

e =e ∙e

z[1]

e =1+z +z²/2 +z³/6+…

z [1] + z[2]

e = 1(z +z)+(z+z)²/2+…

e ∙e =1∙1+(1∙z +1∙z)+(z² /2+z² /2+z ∙z)+(z³ /6 +z³ /6 +z ∙z² /2 +z∙z²/2) +…=1+z +z +(z²+z² +2z z)/2+(z³+z³+3z z²+3z²z)/6 +… =1+z+z + (z +z)²/2+(z+z)³/6+….

2n

1-z²/2!+z /4!-…+(-1)ⁿ z /(2n)!+…=cos z (3)

2n+1

z-z³/3!+z /5!-…+(-1)ⁿz /(2n+1)!+…=sin z (4)

z

cos(-z)=cos(z), sin(-z)=-sinz

-z

e =1+z+z²/2!+z³/3!+…

e =1-z+z²/2!-z³/3!+…

-z

z

ch z=(e +e)/2 (5)

sh z=(e –e)/2 (6)

ch z=1+z²/2!+z /4!+… (7)

iz

sh z=z+z³/3!+z /5!+… (8)

iφ

e =1+iz+(iz)²/2!+(iz)³/3!+(iz) /4!+(iz) /5!+…=1+iz-z²/2!-iz³/3!+z /4!+iz /5! +… =(1-z²/2!+z /4!-…)+i(z-z³/3!+z /5!-…)=cos z + i∙sin z (формула Эйлера)

z

x

iy

x

x+iy

φ ЄR, e =cos φ+isin φ

iz

e = e =e ∙e =e (cos y+isin y)

-iz

e =cos z +isin z (*)

-iz

iz

e =cos (-z)+isin (-z)=cos z-isin z (**)

-iz

iz-

cos z=(e +e)/2 (9)

sin z=(e -e)/2 (10)

ch iz=cos z cos iz=ch z

shi z=isin z sin iz=ish z

cos²z+sin²z=1 ch²z-sh²z=1

_

cos (z ±z)=cos z cos z +sin z sin z

sin (z ±z)=sin z cos z ± cos z sin z

ch (z±z)=ch z ch z ±sh z sh z sh (z ±z)= sh z ch z ±ch z sh z