Теорема 1

Ряд (1) мажорируем на любом промежутке [-p;p] (-R,R).

Доказательство.

-p p

-R 0 R

(*) мажоранта ряда (1)

|x| p -> | | | |

Теорема 2. (о почленном интегрировании степенного ряда)

Ряд (1) можно интегрировать почленно на любом отрезке, лежащем в интервале сходимости.

Доказательство.

В доказательстве исходить из того, что можно интегрировать почленно на любом промежутке [-p;p] (-R,R).

Теорема 3.( о непрерывности суммы степенного ряда)

S(x) непрерывна на (-R,R).

Теорема 4. (о почленном дифференцировании)

(2)

Доказать:

Интервал сходимости (2) совпадает с интервалом сходимости (1). Это (-R,R), причем f(x) = .

Если (2) мажорируем повсюду, то там можно его почленно дифференцировать.

Доказательство.

(-R,R) – интервал сходимости ряда (1)

-R -p 0 p R

Покажем, что (2) мажорируем на любом промежутке [-p;p].

Возьмем p< <R.

|x| p

| | n*| | n | | =

- > сходится -> | M

(**) сходится??

Исследуем (**) по Даламберу:

= q <1 -> (**) – сходится -> является мажорантой ряда (2).

Ряд (2) будет сходится абсолютно в любой точке интервала сходимости ряда (1) -> его интервал сходимости не меньше, чем у ряда (1).

Покажем, что ряд (2) расходится вне интервала (-R,R). Доказательство исходит из противного.

-R R x1 x0 R<x1<x0

Предположим, что ряд (2) сходится в x0 -> ряд (2) можно интегрировать почленно на [0,x1].

= = - > сходится, а ряд (1) расходится в x1 -> имеем противоречие.

Ч.т.д.

Замечание. Степенной ряд можно сколько угодно раз почленно дифференцировать и интегрировать. Интервал сходимости от этого не изменится.