Бесконечно малые ф-ции

бесконечно большой, если ее предел

Св-ва б/м

Т1.

Д-во:

Т2. Сумма б/м есть б/м

Д-во:

пусть

т.е.

Т3. Произведение б/м ф-ций на ограниченную, есть б/м

ограничена в

Д-во:

Следствия:

1. произведение б/м на const - б/м:

2. произведение б/м на ф-цию, имеющую предел, - б/м

3. произведение 2-х б/м – б/м:

Теорема 1. критерий существования предела

Д-во:

Свойства пределов:

Д-во:

покажем, что ограничена:

Теорема 2. о переходе к пределу в неравенстве

Д-во: (от противного)

d не может быть пределом h(x)

Теорема 3. (о двух милиционерах)

Д-во:

При переходе к пределу линейная операция сохраняется.

Некоторые свойства предела последовательности

1. если посл-ть имеет предел – она ограничена

ограничена

2. если посл-ть возрастает и имеет предел, то она ограничена сверху своим

пределом:

3. если посл-ть возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел

Понятие непрерывности ф-ции

опр 1: f(x) непрерывна и а, если

опр 2: f(x) непрерывна и а, если

Покажем, что это одно и то же:

непрерывность означает что предел можно ввести под знак ф-ции.

Свойства непрерывности функции:

1. f(x) непрерывна в а

непрерывны в а

g(x) непрерывна в а

Если ф-ции непрерывны, то их линейные комбинации тоже непрерывны

2. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения

3. f(x) непрерывна в а, g(x) непрерывна в а

непрерывна в а

4. y=f(x) непрерывна в а

обратная функция непрерывна в b=f(a)

следует из непрерывности функции

I замечательный предел

Теорема.

справедливо и для x <0, т.к. если x заменить на - x, то ничего не

изменится – все функции четные

II замечательный предел

Теорема (вспомогательная) последовательность

, где имеет предел , заключенный на отрезке

Д-во:

число сочетаний по k -элементов из n

Теорема Второй замечательный предел

Д-во:

х >0:

х <0: обозначим t=-(x+1)

Следствия II замечательного предела:

1.

Д-во:

2.

ln – это не предельная функция, поэтому знак предела можно вынести под знак ln

3.

Д-во:

Сравнение бесконечно малых

Опр. 1

Опр. 2

Опр. 3

Опр. 4

Таблица эквиволетности б/м

Т-1.

Точки разрыва функций

1) y=f(x) x=a- точка разрыва функции f(x), если коор. условия непрерывны.

x=a- т. непрер. оси

2)

3.

1) Однородная непрерывность

y=f(x) – непрерывна слева(справа)

если:

2) y=f(x) – непрерывна на интервале (a,b), если f(x) непрерывна

3) y=f(x) – непрерывна на отрезке [a,b] если непрерывна на интервале (a,b)

f(x) непрерывна слева в (.) b

f(x) непрерывна справа в (.) а

Свойства функций не прерывных на замкнутом отрезке

1. f(x) непрерывна на [a,b]

2.

f(x) непрерывна на [a,b]

3. f(x) непрерывна на [a,b]