Замечательные пределы. Теперь имеем два способа определения значения функции в точке: а) прямая подстановка аргумента в формулу y = f(x); б) предельный процесс - процесс осторожного

Теперь имеем два способа определения значения функции в точке: а) прямая подстановка аргумента в формулу y = f (x); б) предельный процесс - процесс осторожного приближения к выбранной точке. В большинстве случаев оба способа дают одинаковый результат, но в отдельных точках прямая подстановка приводит к неопределенностям типа {0/0}, {¥/¥},

{¥ - ¥}, { }, { }, { }.Тогда значение функции определяется через предельный процесс и процедуру раскрытия неопределенностей.

В основе аппарата мат.анализа лежат пределы нескольких функций, которые получили название - замечательные пределы. Раскроем их неопределенности.

Первый замечательный предел = 1

Имеем окружность R = 1 и касательные AD, BD. Из прямоугольных D ОАС и D ОАD следует: sin x = AC /1, tg x = AD /1. Точки А и В соединяют три линии: прямая АВ = 2 АС = 2 sin x, дуга АВ = 2 х и ломаная ADB = 2 AD = =2 tg x. Из соотношения длин этих линий следует: 2sin x < 2 x < 2tg x Þ 1 < < Þ 1 > > cos x. При переходе в неравенстве к пределу x ® 0 имеем lim cos x = 1, 1 ³ lim sin x / x ³1 и, следовательно, lim = 1 при x ® 0.

Натуральное число e

Логарифмическая функция y = log _ax является обратной для показательной функции y = a^x. Графики этих функций расположены симметрично относительно биссектрисы y = x и при произвольном а пересекают оси О х, О у всегда в одной точке (1;0) и (0;1). Проведем через эти точки касательные к кривым. Они пересекутся на биссектрисе и точка пересечения будет перемещаться вдоль нее при изменении основания а. В определенный

момент, при а = 2,72... касательные станут параллельны друг другу и оси симметрии. Их угловой коэффициент k = tg 45⁰ = 1. Основание логарифма, приводящее к высшей степени симметрии графиков показательной и логарифмической функций, наз. натуральным числом и обозначается

е = 2,72.... Многие соотношения связанные с е удивительно просты и симметричны.