Числовые последовательности. Пр. Парадокс Зенона - Ахилл догоняет черепаху

Пр. Парадокс Зенона - Ахилл догоняет черепаху. Последовательность расстояний от Ахилла до черепахи

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,.......1/2 ⁿ,.....

это числовая последовательность и её элемент

а_n = 1/2 ⁿ с ростом n делается сколь угодно малым, но 0 так и не достигает. Черепаха является пределом устремлений Ахилла и, соответственно, 0 есть предел для элемента а_n при n или lim а_n = 0.

Опр. Бесконечной числовой последовательностью наз. последователь-ность значений функции f (x) ( определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: u_n = f (n), где n = 1,2,3,.. или u _1, u _2, u _3,..., u_n... Пр. Если f (x) = 2 ^x,то имеем 2,4,8,..., если f (x) = 1/2 ^x,то имеем ½,1/4, 1/8, 1/16,...

Опр. Пределом числовой последовательности а_n наз. число а, такое что с ростом n разность между числом и членом последовательности становится меньше любого наперед заданного числа, тогда а = lim а_n.

Пусть > 0, тогда имеется такое N, что для n > N выполняется неравенство | а_n– a | < . Оно означает, что, начиная с некоторого N (), члены последовательности находятся в - окрестности точки а, т.е.

| a _n – a | > _| | a _n – a | < .. __________|_____|_____|_______.

1 2 3 N () a - a a +

Все ч.п. а_n делятся на два типа: сходящейся, если имеется конечный предел и расходящейся, если нет. Факт существования предела следует из факта существования пограничного N ().

Пр. lim(3 n +1)/(2 n –1) = 3/2при n . Определим N ( ) при = 0,1.

|3/2 – а_n | = | 3/2 - (3 n + 1)/(2 n – 1) | = 5/(4 n +2) < n > (2 +5)/4 N() = (2 + 5)/4 . Ответ: при n > 13разность между пределом 3/2и а_n меньше0,1.

Числовая последовательность с нулевым пределом наз. последовательностью бесконечно малых, а процесс прохождения по её элементам наз. предельным процессом.

Соединим точки графика первого Пр. непрерывной линией и введем предельный процесс для непрерывно изменяющейся величины.

Опр. Величина х наз. бесконечно малой величиной (б.м.в.), если она стремится к нулю, делается меньше любого наперед заданного числа, но 0 так и не достигает. Процесс изменения б.м.в. наз. предельным процессом.

Обозначения б.м.в.: х 0 или lim x = 0. Пределом б.м.в. является число 0, к которому оно подходит на сколь угодно близкое расстояние.

Предельный процесс можно организовать не только при подходе к 0, но и к любой точке а. Тогда б.м.в. является разность ( х - а ), т.е. lim(x - a) = 0 илиlim x = a (x a). Величина х в данном процессе имеет предел а, или стремится к а.

Предельный процесс носит точечный характер и является инструментом для локального изучения изменений переменной величины любого типа в окрестности любой её точки. Поэтому базовым типом переменной величины, который позволяет исследовать все остальные типы переменных величин, является б.м.в., участвующие в предельном процессе. Второе название математического анализа - «Исчисление бесконечно малых».