Аксиомы действительных чисел

Множество R ={ x, y, z,…} действительных чисел - множество мощности континуум, на котором определены две операции (сложение и умножение) и отношение упорядоченности (), удовлетворяющие аксиомам

I.1. x + y = y + x;

I.2. (x + y)+ z = x +(y + z);

I.3. Существует такой элемент 0Î R, что 0+ х = х для " х Î R;

I.4. Для каждого элемента х Î R существует такой элемент - х, что х +(- х)=0;

II.1. xy = yx;

II.2. (xy) z = x (yz);

II.3. Существует такой элемент 1Î R, что 1 х = х для " х Î R;

II.4. Для каждого элемента х ¹0, х Î R существует такой элемент х ^-1Î R, что х х ^-1=1;

III.1. x (y + z)= xy + xz;

IV.1. Отношение {()L(y £ x)} эквивалентно отношению х = у;

IV.2. Для любых двух элементов х Î R, у Î R или х £ у, или у £ х;

IV.3. Из и y £ z следует х £ z;

IV.4. Из х £ у следует х + z £ у + z для любых х, у, z Î R;

IV.5. Из 0£ х и 0£ у следует 0£ ху.

Отношение записывается также в форме у ³ х. Отношение {()L(x ¹ y)} записывается в форме х < у.

V. Аксиома непрерывности: для любых элементов х Î R, у Î R таких, что х < у, существует элемент z Î R, такой что х < z < у.

VI. Аксиома Архимеда: для любых элементов х Î R, у Î R таких, что 0< х, 0< у, существует такое натуральное число n, что у £ nх;

VII. Аксиома о вложенных отрезках: если {[ a_n, b_n ]} - счётная последовательность отрезков, таких что a_n £ a_{n +1} и b_{n +1}£ b_n при " n, то пересечение этой последовательности непусто, т.е. $ х Î R: х Î[ a_n, b_n ] для " n.