К решению первой контрольной работы

Представлен разбор решений задач типового варианта контрольной работы по математическому анализу.

ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) —д):

а)

1. .

► = = .

2. .

► .= = = =0.

3. .

► .= = = =-∞.

б) .

Решение. = = = =

= = =

Предел вычислен подстановкой .

Предел не может быть вычислен подстановкой , поскольку в результате подстановки получается неопределенность .

в) .

Анализ задачи. Подстановка числа 2 вместо показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределенность . Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Решение. Выражение является сопряженным по отношению к выражению , а выражение - по отношению к . Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений ()·() и используя формулу разности квадратов , получаем

◄

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

Ответ:

◄

г)

Анализ задачи. В данном случае непосредственное применение теоремы о пределе частного невозможно, поскольку, как показывает подстановка числа -3 вместо x, и предел числителя, и предел знаменатели равны пулю.

и

Таким образом, рассматриваемый предел представляет собой неопределённость вида , и для решения задачи требуется провести тождественные преобразования выражения, находящегося под знаком предела.

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь следующей теоремой: если — корни квадратного трехчлена ,

то = . Решаем квадратное уравнение, находя его дискриминант D:

Отсюда

Аналогично,

Поэтому

Преобразуем выражение, находящееся под знаком предела:

= =

= ◄

Другое решение задачи. Поскольку пределы числителя и знаменателя при равны нулю, то применимо правило Лопиталя:

◄

	Ответ: 10.

д)

Анализ задачи. Подстановка числа 0 вместо x показывает, что пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Поэтому имеет место неопределённость .

Для того чтобы раскрыть неопределённость, можно либо провести тождественные преобразования выражения, либо применить правило Лопиталя.

Решение. Совершим замену неизвестной при этом

Так как при то :

Используем теперь тригонометрическую формулу

Другое решение. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя

◄

	Ответ:

ЗАДАЧА 2. Вычислить производные функций а) – в):

а) Вычислить производную функции

► ◄

б) Вычислить производную функции

1. .

►

◄

в) Вычислить производную функции

.

► .◄

2..

►

.◄

3.

►

.◄

ЗАДАЧА 3. Исследовать функцию и построить график

Исследовать функцию и построить её график.

►Исследуем данную функцию.

1. Областью определения функции является множество .

2. Ордината точки графика .

3. Точки пересечения графика данной функции с осями координат:

4. Находим, что

.

Находим наклонные асимптоты:

Таким образом, существует единственная наклонная асимптота

5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, локальный экстремум:

.

Из у'=0 следует х ²-8 х -33=0, откуда = 11, х₂ = -3. В интервале (-∞; -3) y ′>0, следовательно, функция возрастает в этом интервале; в интервале (-3; 4) y '<0, значит, функция убывает. Поэтому функция в точке х= -3 имеет локальный максимум: у (-3) = 0. В интервале (4;11) у' <0, следовательно, функция убывает на этом интервале; в интервале (11; +∞) у'> 0,т. е. функции возрастает. В точке =11 имеем локальный минимум: y (11) = 28.

6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем

=

= = .

Очевидно, что в интервале (-∞; 4) y "<0, и в этом интервале кривая выпукла; в интервале (4; +∞) у" >0, т. е. в этом интервале кривая вогнута. Так как при х=4 функция не определена, то точка перегиба отсутствует.

7. График функции изображен на рис.

ЗАДАЧА 4. Вычислить неопределенные интегралы а) – в)

а)

1.

► ◄

2.

►

◄

3.

►

.◄

4.

►

.◄

б) .

Решение. Решение данной задачи выполним по формуле интегрирования по частям:

В этой формуле принимаем за функцию . Тогда (так как находим первообразную, то «+С» не пишем).

По формуле находим производную второго сомножителя :

Подставляя найденные в формулу интегрирования по частям, получаем:

в)

Решение. Так как корнями знаменателя является и , то по формуле знаменатель раскладывается на множители

.

Представим дробь в виде следующей суммы:

и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю:

Приравняв числители, получим: .

Подставив в последнее равенство , находим, что

Подставляя в равенство (2), находим, что

Таким образом, .

Итак,

ЗАДАЧА 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций . Изобразите эту фигуру на координатной плоскости.

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции и находим координаты вершины параболы С:

Рис. к задаче 5

Найдем точки пересечения графиков функции: .

Заметим, что для Графиком функции является прямая, которую можно построить по двум точкам .

Пусть S – площадь фигуры , ограниченной графиками функций. Так как то

Контрольная работа № 1

Формулировки условий задач контрольной работы.

[1]. Вычислить предел функции.

[2]. Вычислить производную функцию.

[3]. Исследовать функцию, построить график.

[4]. Вычислить неопределённые интегралы.

[5] Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) и

►Вариант 0◄

1. а) б) в)

г) д)

2. а) ; б) ; в)

3. .

4. а) ; б) ; в) ;

5. .

►Вариант 1◄

1. а) б) в)

г) д)

2. а) ; б) ; в)

3. .

4. а) ; б) ; в) ;

5. .

►Вариант 2◄

1. а) б) в)

г) д) ;

2. а) ; б) ; в)

3. .

4. а) ; б) ; в) ;

5. .

6. .

►Вариант 3◄

1. а) б) в)

г) д)

2. а) ; б) ; в)

3. .

4. а) ; б) ; в) ;

5. .

►Вариант 4◄

1. а) б) в)

г) д)

2. а) ; б) ; в)

3. .

4. а) ; б) ; в) ;

5. .

►Вариант 5◄

1. а) б) в)

г) д)

2. а) ; б) ; в)

3. .

4. а) ; б) ; в) ;

5. .

►Вариант 6◄

1. а) б) в)

г) д)

2. а) ; б) ; в)

3. .

4. а) ; б) ; в) ;

5. .

►Вариант 7◄

1. а) б) в)

г) д)

2. а) ; б) ; в)

3. .

4. а) ; б) ; в) ;

5. .

►Вариант 8◄

1. а) б) в)

г) д)

2. а) ; б) ; в)

3. .

4. а) ; б) ; в) ;

5. .

6. .

►Вариант 9◄

1. а) б) в)

г) д)

2. а) ; б) ; в)

3. .

4. а) ; б) ; в) ;

5. .

Таблицы и формулы

1. Производные основных элементарных функций

1). Производная константы равна нулю:

2). Производная степенной функции: где а — любое не равное нулю действительное число. В частности,

3). Показательная, логарифмическая и экспоненциальная функции:

4) Тригонометрические функции

5) Обратные тригонометрические функции

2. Производные некоторых сложных функций:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

3. Правила дифференцирования:

1)

2) Константы можно выносить за знак производной:

3) Производная суммы равна сумме производных:

4) Производная произведения:

5) Производная отношения:

6)

7)

8) Пусть сложная функция, и

Тогда:

4. Таблица основных неопределенных интегралов:

1.	7.
2.	8.
3.	9.
4.	10.
5.	11.
6.

12. при

5. Операции интегрирования.

1) Линейность операции интегрирования:

2) Замена переменных (метод подстановки): если то

Эта формула позволяет интегрировать произведения, одним из сомножителей которых является сложная функция

3) Интегрирование по частям:

4) Интегрирование простейших дробей:

1.

2.

3.