Тема 4. Интегралы

§ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям.

Литература: [1, гл.II], [2, гл.XIII], [3, гл.IX], [4, §2.1-2.5, стр.73-82], [5, гл. VIII, §1-8, 10], [7, гл.6, §1-3].

Упражнения: [5, 1263-1267, 1279-1284, 1291-1296, 1301, 1305 1307, 1309, 1330, 1340, 1362, 1363, 1375-1379, 1383, 1428, 1444], [6, 4.1-4.5, 4.19-4.22, 4.61-4.65, 4.68-4.72, 4.80, 4.96-4.99, 4,104, 4.105], [7, гл.6, упр.1-5, 37-40, 56-59, 102-105, 107-110, 118, 119, 126].

§ 2. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Свойства определенного интеграла. ФормулаНьютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Литература: [1, гл.12, §5], [2, гл.XIV, §12, упр.10], [3, гл.X, §59], [4, §2.6-2.9, стр.82-88], [5, гл.IX, §7], [7, гл.6, §4].

Упражнения: [5, 1593-1596, 1601], [6, 4.117, 4.118, 4.120-4.124, 4.129, 4.130, 4.136], [7, гл.6, упр.254-257, 268-270].

§ 3. Геометрические приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела вращения. Приближенные методы вычисления определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Литература: [1, гл.12, §6, 8], [2, гл.XV], [3, гл.X, §58], [4, §2.10, 2.12, стр. 88-92, 95-97], [5, гл.IX, §2-3], [7, гл.6, §5].

Упражнения: [5, упр. 3625, 1653, 1654, 1669, 1670], [6, 4.138, 4.142-4.146, 4.158], [7, гл.6, упр.290, 292-294, 219, 221, 388, 391].

§ 4. Несобственные интегралы. Понятие о кратных интегралах.

Литература: [1, гл.12, §5], [2, гл.XIV, §12, упр.10], [3, гл.X, §59], [4, §2.11, 2.13, стр.92-95, 97-99], [5, гл.IX, §7], [7, гл.6, §6].

Упражнения: [5, упр.1748, 1752], [6, упр.4.171], [7, гл.6, упр.355-358].

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

ТЕМА 1. Предел и непрерывность функции

1. Сформулируйте определение понятия функции. Что называется областью определения функции?

2. Какие функции называются элементарными?

3. Какой вид имеют графики функций , ? Укажите области определения и множества значений этих функций. Какие из этих функций являются чётными?

4. При каких условиях число b называется пределом функции при стремлении x к числу 2, к -∞, + ∞? Прочитайте формулы , и объясните их смысл.

5. Пределом какой функции при x →0 является число е? Как называется иобозначается логарифм числа x по основанию е? Какому числу равен предел ?

6. Какие правила применяются при вычислении пределов суммы, разности и отношения двух функций?

7. Как определяется непрерывность функции в точке a?

ТЕМА 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Сформулируйте определение производной. Каков геометрический смысл производной?

2. Функция имеет производную в данной точке. Следует ли отсюда, что она непрерывна в этой точке?

3. Сформулируйте теоремы Ролля и Лагранжа. Каков геометрический смысл этих теорем? Сформулируйте теорему Коши.

4. В чем заключается правило Лопиталя? При каких условиях применяется правило Лопиталя? Перечислите различные типы неопределённостей, для раскрытия которых может быть использовано это правило. Приведите примеры.

5. Что называется дифференциалом функции? Приведите примеры.

6. Каковы признаки возрастания и убывания функции?

7. Что такое экстремум функции? Каковы необходимые и достаточные условия экстремума? Приведите примеры.

8. Приведите пример, показывающий, что обращение производнойв нуль не является достаточным условием экстремума.

9. Как найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции? Приведите примеры.

ТЕМА 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. Сформулируйте определение частных производных.

2. Что называется полным приращением и полным дифференциалом функции двух переменных? Приведите примеры.

3. Каковы достаточные условия минимума (максимума) функции двух переменных. Что такое условный экстремум?

ТЕМА 4. Интегралы

1. Сформулируйте определение первообразной функции. Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции отличаются на константу.

2. Что называется неопределённым интегралом?

3. Какие правила применяются для вычисления неопределённого интеграла суммы функций, для вычисления ?

4. Выведите формулу интегрирования по частям.

5. Что называется интегральной суммой функции на отрезке [ a, b ].Какая фигура называется криволинейной трапецией? По какой формуле вычисляется её площадь?

6. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

7. Какие свойства определённого интеграла Вам известны?

8. В чём состоят определение и геометрический смысл несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1]. Карасей А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. М.: Высшая школа, 1982.

[2]. Кудрявцев В.А., Демидов Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.

[3]. Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. М.: Высшая школа, 1972.

[4]. Высшая и прикладная математика. Конспект лекций. Часть I. Высшая математика. Выпуск 3. Основы математического анализа. М.: МКУ, 1993.

[5]. Минорский В. И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1986.

[6]. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А. Высшая математика. Сборник задач, часть I. М,: изд. МГУК, 1998.

[7]. Шипачев B.C. Задачник но высшей математике. М.: Высшая школа, 1998.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

[8]. Шипачев В. С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998.

[9]. Данко П.В., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика вупражнениях и задачах. Ч I, II. М.: Высшая школа, 1980.

[10]. Задачи и упражнения но математическому анализу для втузов / Под ред. Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1979.

[11]. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1966.

[12]. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. Т. 1, 2, М.: Наука, 1972.

[13]. Высшая математика для экономистов (под ред. проф. Н.М. Кремера). М.: Банки и биржи, издательское объединение ЮНИТИ, 1998.

[14]. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгиз, 1962.