Формулы определения радиуса сходимости

Приведем способ определения радиуса сходимости степенного ряда

Теорема 2. Если существует предел то радиус сходимости ряда равен

Рассмотрим ряд. По условию существует. Обозначим его через Тогда

При каждом значении х степенной ряд становится числовым рядом.

Поэтому по признаку Даламбера ряд сходится если. т.е..

Следовательно, по теореме о сходимости знакопеременных рядов ряд также сходится при причем абсолютно. При ряд расходится, так как и, следовательно, общий член ряда a_nxⁿ не стремится к нулю при.

Таким образом, данный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его. т.е. радиус сходимости равен

Можно доказать, что если, то ряд сходится на всей числовой прямой т.е. а если, то ряд сходится только при x=0.т.е., R=0.

Пример 1. Рассмотрим ряд.Здесь и

Поэтому

Следовательно, по теореме 3 данный ряд сходится на интервале. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках. При х=1 получаем гармонический ряд при ряд который сходится в силу признака Лейбница. Таким образом, данный ряд сходится в любой точке полуинтервала (-1. 1) и расходится вне его.

Пример 2. Ряд расходится на всей числовой прямой, кроме точки, так как его радиус сходимости

Пример 3. Ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой так как его радиус сходимости.

Теорема 4. Если функция имеет производные до n+1 порядка в некоторой окрестности точки x=a, то, как известно из дифференциального исчисления, в каждой точке х этой окрестности она представима следующей формулой Тейлора:

f(x)=f(a)+(x-a)+ ++Rn(x), (2)

Rn(x)=.(0<0<1).

Остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранжа. Пусть теперь функция f(x) некоторой окрестности точки х=a имеет производные всех порядков. Если для каждой точки х этой окрестности =0, то переход к пределу в формуле (2) при дает нам представление функции f(x) в виде бесконечного ряда:

f(x)=f(a)+(x-a)+… ++… (3)

Заметим, что независимо от того, выполняется условие или нет, ряд, стоящий в правой части равенства (3), называется рядом Тейлора для функции f(x).Если, то между рядом Тейлора для функции f(x), если только в точке х=а она имеет производные всех порядков, но этот ряд может и не иметь своей суммой функцию f(x).Функция f(x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки х=а, если для нее справедливо равенство (3).Условием разложимости функции f(x) в ряд Тейлора является равенством.

Учитывая ранее изложенное, мы можем сделать следующее заключение: Чтобы разложить функцию f(x) в ряд Тейлора, нужно: 1) формально составить для нее ряд Тейлора, 2) найти область сходимости этого ряда, 3) выяснить, для каких х из области сходимости имеет место равенство.Для этих х и будет верна формула(8). Теорема 5. Для того чтобы ряд Тейлора(3) функции сходился к точке x, необходимои достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при, т.е. чтобы.

Пусть ряд Тейлора сходится к функции в некоторой окрестности точки x0 т.е.. Так как n-я частичная суммаряда() совпадает с многочленом Тейлора Pn(x), т.е. = Pn(x), находим: = === =0. Обратно, пусть. Тогда =

Замечание. Если ряд Тейлора (2) сходится к порождающей функции f(x), то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора, т.e. Rn(x)=rn(x). (Напомним, что Rn(x)=, а rn(x)=S(x) - - Sn(x), где S(x) - сумма ряда Тейлора). Таким образом, задача разложения функции f(x) в степенной ряд сведена к определению значений х, при которых Rn(x)0 (при). Если сделать замену, то следует каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.

На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

Теорема 6. Если модули всех производных функций f(x) ограничены в окрестности точки х0 одним и тем же числом М>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x), т.е. имеет место разложение:

f(x)=f(a)+(x-a)+…=. (8)

Согласно теореме(3) достаточно показать, что. По условию теоремы (6) для любого n имеет место неравенство.Тогда имеем:

Осталось показать, чтоДля этого рассмотри ряд

Так както по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости

Следовательно,.

Теорема 7. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке х его интервала сходимости - R<x<R, то есть из справедливости равенства (А) Следует справедливость (Б)

При этом интервал сходимости ряда (Б) совпадает с интервалом сходимости ряда (А).

Фиксируем произвольную точку х интервала сходимости (-R, R) данного ряда и докажем, что в этой точке степенной ряд можно почленно дифференцировать. С этой целью построим отрезок [-p, p], содержащейся в интервале (-R, R) содержащей точку х. Покажем, что на этом отрезке ряд производных от членов данного ряда сходится равномерно. Докажем теперь, что функция е^x - сумма Возьмем точку хn удовлетворяющую условию Q<x0<0. Учитывая, что ряд сходится, что, и следовательно, его члены при всех n ограничены по модулю, также, принимая во внимание неравенство, оценим общий член ряда производных по модулю: (11). Отметим, что в силу необходимого условия сходимости Замечая, что числовой ряд с общим членом сходится (действительно, по признаку Даламбера, мажорирует ряд с общим членом на отрезке [-p, p] на основании признака Вейерштрасса, заключаем, что ряд сходится равномерно на отрезке [-p, p]. Так как члены этого ряды непрерывны на том же отрезке, то отсюда, на основании теоремы о дифференцировании функциональных рядов, вытекает, что данный степенной ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке отрезка [-p, p], в том числе и в упомянутой точке х.

Итак, равенство (Б) доказано для всякой точки х интервала сходимости - R<x<R данного ряда. Отсюда следует, что радиус сходимости ряда производных (Б) не меньше R. Докажем, что он не может быть и больше R. С этой целью предположим противное, то есть что ряд (Б) сходится в интервале, где. Тогда, проинтегрировав равенство (Б) на отрезке [0, x], мы получим исходное равенство (А), которое в силу теоремы об интегрировании степенных рядов должно иметь место в интервале более широком, чем (-R, R). Так как это невозможно, то заключаем, что Теорема доказана.

Следствие. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке х его интервала сходимости сколько угодно раз.

Действительно, ряд, полученный почленным дифференцированием данного ряда, является степенным и поэтому к нему приложима доказанная теорема, на основании которой его снова можно дифференцировать. Так как и дальнейшие дифференцирования приводят к степенным рядам, то справедливость следствия очевидна.

Заметим, что m-кратное дифференцирование степенного ряда приводит к формуле

При этом интервалы сходимости всех производных рядов совпадают с интервалом сходимости исходного ряда.

7.7 Если функция y = f(x) имеет производные в окрестности точки x = x₀ до (n+1) - го порядка включительно, то существует точка , такая, что

(1)

где

Формула (1) называется формулой Тейлора функции y = f(x) для точки x₀,

R_n (x) - остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Многочлен

называется многочленом Тейлора функции y = f(x).

При x₀ = 0 приходим к частному случаю формулы (1):

(2)

где

Формула (2) называется формулой Маклорена функции y = f(x).

Сформулируем условие разложимости функции в ряд Тейлора.

Если функция f(x) дифференцируема в окрестности точки x₀ любое число раз и в некоторой окрестности этой точки , то

(3)

При x₀ = 0

(4)

Ряд (3) называется рядом Тейлора, а ряд (4) – рядом Маклорена.

Приведем разложения в степенные ряды некоторых функций:

	(5)
	(6)
	(7)
	(8)
(-1 < x < 1)	(9)

Для каждого случая в скобках указана область, в которой степенной ряд сходится к соответствующей функции.

Последний ряд, называемый биномиальным, на концах интервала сходимости ведет себя по - разному в зависимости от ; при абсолютно сходится в ; при -1 < m < 0 расходится в точке x = -1 и условно сходится в точке x = 1 при расходится в точках .

В общем случае разложение в степенные ряды основано на использовании рядов Тейлора или Маклорена. Но на практике степенные ряды многих функций можно найти формально, используя ряды (5 - 9).

Например, при разложении в степенной ряд функции в формулу (6) вместо подставляем . Тогда:

Полученный ряд сходится при любых , но следует помнить, что функция не определена при x < 0. Поэтому найденный ряд сходится к функции только в полуинтервале .

Аналогично можно записать степенные ряды функций f (x) = e^-2x и .