Функциональные ряды

Ряд

называется функциональным, если его члены являются функциями от х, т.е. , , которые определены на некотором множестве X.

Если переменной придавать различные числовые значения, то будут получаться сходящиеся или расходящиеся числовые ряды. Совокупность таких значений переменной х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости. Областью сходимости ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.

По аналогии с числовыми рядами определяются частичные суммы функционального ряда, предел которых определяет сумму ряда (если существует). Очевидно, что сумма функционального ряда в области сходимости является функцией от х, т.е.

.

Говорят, что последовательность функций сходится равномерно к функции на множестве D, если для любого можно определить такой номер N, зависящий только от , что для любого и для всех выполняется неравенство

.

Ряд сходится равномерно на множестве D к сумме , если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на множестве D к функции .

Приведем достаточный признак равномерной сходимости, который удобен в практическом применении.

Теорема (Признак Вейрштрассе). Если для членов функционального ряда выполняются неравенства

,

где , а – некоторые числа, не зависящие от х, и при этом числовой ряд сходится, то ряд сходится на множестве D равномерно.

Следующие теоремы устанавливают основные свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

Теорема. Если функции определены и непрерывны на множестве D, а ряд на этом же множестве сходится равномерно к сумме , то эта сумма будет непрерывной на D функцией.

Теорема. Если функции определены и непрерывны на множестве , а функциональный ряд на этом же множестве сходится равномерно к сумме , то его можно почленно интегрировать на , т.е.

.

Теорема. Пусть функции определены на и имеют непрерывные первые производные на . Если функциональный ряд сходится на отрезке , а функциональный ряд равномерно сходится на к сумме , то имеет на производную, причем

.

Заметим, что условия теорем достаточно жесткие, т.е. нельзя просто интегрировать и, особенно, дифференцировать функциональные ряды почленно. Это может привести к неверным результатам.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

(123)

где – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Теорема. Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

Укажем способ определения радиуса сходимости. Пусть имеем ряд (123). Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

(124)

Для определения сходимости ряда (124) применим признак Даламбера. Допустим, что существует предел:

Тогда по признаку Даламбера ряд (124) сходится, если <1, т.е. < и расходится, если , т.е. . Следовательно, ряд (123) сходится абсолютно при . Если же , то и ряд (124) расходится, при чем его общий член не стремится к нулю. Но тогда и общий член данного степенного ряда (123) не стремится к нулю, а это значит, на основании необходимого признака сходимости, что этот степенной ряд расходится (при ). Из предыдущего следует, что интервал есть интервал сходимости степенного ряда (123), т.е.

. (125)

Аналогично, по признаку Коши, можно определить интервал сходимости степенного ряда с радиусом

.

Пример 7.2.1. Определить интервал сходимости ряда

Решение. Применим для данного степенного ряда признак Даламбера:

.

Следовательно, ряд сходится при , так как предел не зависит от х. ►

Пример 7.2.2. Определить интервал сходимости ряда

Решение. Применим для данного степенного ряда признак Даламбера:

Таким образом, по формуле (125) радиус сходимости этого ряда равен нулю, поэтому ряд расходится при всех х, кроме х = 0. ►

Пример7.2.3. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Вычислим радиус сходимости ряда по формуле (125):

.

Таким образом, область сходимости данного степенного ряда . ►

6.1 Признак сравнения рядов с положительными членами. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами a_n и b_n. Если существует натуральное число N такое, что неравенство a_n ≤ b_n выполнено для всех n ≥ N, то из сходимости ряда b_n следует сходимость ряда a_n, а из расходимости ряда a_n — расходимость ряда b_n.

6.2
Признак Даламбера.

а) Если существует натуральное число N такое, что для последовательности чисел q_n = , построенной из членов ряда a_n, a_n > 0, для всех n ≥ N выполняется неравенство ≤ q < 1 (q — фиксированное число, не зависящее от n), то ряд сходится; если для всех n ≥ N выполняется неравенство ≥ 1, то ряд a_n расходится.

б) Если последовательность , построенная из членов ряда a_n, a_n > 0, имеет некоторый предел n, = p, то при p < 1 ряд

a_n сходится, а при p > 1 расходится (предельный признак Даламбера).

При p = 1 предельный признак Даламбера не дает ответа на вопрос, сходится данный ряд или расходится.

6.3 Признак Коши.

а) Если существует натуральное число N такое, что для числовой последовательности { }, построенной из членов ряда a_n, a_n ≥ 0, для всех n ≥ N выполняется неравенство ≤ q < 1 (q — фиксированное число, не зависящее от n), то ряд сходится; если для всех n ≥ N выполняется неравенство ≥ 1, то ряд расходится.

б) Если у последовательности { }, построенной из членов ряда a_n, a_n ≥ 0, существует = p, то ряд a_n сходится при p < 1 и расходится при p > 1.

При p = 1 предельный признак Коши не дает ответа на вопрос, сходится данный ряд или расходится.

6.4 Интегральный признак (Коши, Маклорен).

Пусть данный ряд имеет вид a_n = f (n), причем f (n) есть значение в точке x = n некоторой функции f (x), определенной при x ≥ n ₀. Если f (x) монотонно убывает и в области определения справедливо неравенство f (x) ≥ 0, то ряд a_n сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл f (x) dx.

6.5 Признак Лейбница. Если для членов ряда (2)

c_n ≥ c_n + 1 (n = k, k + 1, …) и c_n = 0,

то ряд сходится.

Остаток у знакочередующихся рядов можно легко оценить. Если ряд (– 1) ^{n – 1} c_n сходится и имеет сумму S, то остаток R_n = S – (– 1) ^{n – 1} c_s имеет знак (– 1) ^{n – 1} и | R_n | ≤ c_n + 1.