Теорема

, (100)

(101)

сходятся и их суммы, соответственно равны и , то ряды

, (102)

(103)

также сходятся и их суммы равные соответственно и .

Теорема. (Необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.

Следствие. Если n-й член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Пример 7.1.2. Определить сходимость числового ряда .

Решение. Воспользуемся необходимым признаком сходимости ряда. Для данного числового ряда записываем формулу общего члена и вычисляем предел

.

Так как предел не равен нулю, то исходный ряд расходится. ►

Подчеркнем, что рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, то есть из того, что n- й член ряда стремится к нулю, ещё не следует, что ряд сходится – ряд может и расходиться.

Пример 7.1.3. Определить сходимость числового ряда

. (104)

Решение. Для данного числового ряда записываем формулу общего члена и вычисляем предел . Необходимый признаквыполнен.Докажем, однако,что исходный ряд расходится. Распишем его подробнее:

(105)

и составим вспомогательный ряд:

. (106)

Ряд (106) строится следующим образом: его первый член равен 1, второй – , третий и четвёртый равны , члены с пятого по восьмой равны , члены с девятого по 16-й равны , с 17-го по 32-й – , и т.д.

Обозначим через Sn ⁽¹⁾ сумму первых n членов гармонического ряда (105), а через Sn ⁽²⁾ сумму первых n членов ряда (106). Так как каждый член ряда (105) больше соответствующего члена ряда (106), то для (n > 2) выполнено

. (107)

Подсчитаем частичные суммы ряда (106) для значений n равных степеням двойки: 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵ и т.д. Имеем:

,

,

,

,

Заметим, что , , и т.д. Следовательно , т.е. частичные суммы Sn ⁽²⁾ при неограниченно увеличиваются или . Но тогда из соотношения (107) следует, что . Таким образом, исходный числовой ряд расходится. Числовой ряд (104) часто называют гармоническим. ►

Пусть даны два ряда с положительными членами

, (108)

. (109)

Для них справедливы следующие утверждения.

Теорема (Первый признак сравнения числовых рядов). Пусть члены ряда (108) не больше соответствующих членов ряда (109), т.е. при n=1, 2,...

. (110)

Тогда, если ряд (109) сходится, то сходится и ряд (108).

Теорема (Второй признак сравнения числовых рядов). Пусть члены ряда (108) не меньше соответствующих членов ряда (109), т.е. при n=1, 2,...

. (111)

Тогда, если ряд (109) расходится, то расходится и ряд (108).

Пример 7.1.5. Определить сходимость числового ряда .

Решение. Поскольку все слагаемые данного числового ряда положительны, воспользуемся вторым признаком сравнения. Так как , то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда , который расходится (см. пример 7.1.3). Поэтому исходный числовой ряд также расходится. ►

Теорема (Признак сходимости Даламбера).Пусть дан числовой ряд (97) с положительными членами. Если отношение (n+1)-го члена к n-му члену при имеет конечный предел, т.е.

, (112)

то 1) при < 1 – ряд сходится;

2) при > 1 – ряд расходится.

Замечание. Ряд будет расходиться и в том случае, когда . Это следует из того, что если , то, начиная с некоторого номера n=N, будет иметь место неравенство: >1. Следовательно, > .

Пример 7.1.6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Воспользуемся признаком сходимости Даламбера. Определим формулу общего члена числового ряда и составим отношение , , . Вычисляя предел, получим

<1.

Таким образом, исходный ряд сходится. ►

Пример 7.1.7. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся признаком сходимости Даламбера. Определим формулу общего члена числового ряда и составим отношение , , . Вычисляя предел, получим

> 1.

Таким образом, исходный ряд расходится. ►

Признак Даламбера дает ответ на вопрос о том сходится ли данный положительный ряд в случае, когда существует и отличен от 1. Если же этот предел не существует или , то признак Даламбера не дает возможности установить, сходится ряд или расходится, так как в этом случае ряд может оказаться или сходящимся, или расходящимся. Для решения вопроса о сходимости надо применить какой-либо другой признак.

Если , но отношение для всех номеров n, начиная с некоторого больше 1, то ряд расходится. Это следует из того, что если >1, то > и общий член ряда не стремится к 0 при n ®¥.

Теорема (Признак Коши). Если для ряда с положительными членами (97) величина имеет конечный предел при , т.е.

,

то 1) при < 1 – ряд сходится;

2) при > 1 – ряд расходится.

Замечание. Как и в признаке Даламбера, случай , требует дополнительного исследования. Среди рядов, удовлетворяющих этому условию, могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся. Так для гармонического ряда имеем: , но он расходится. Рассмотрим другой числовой ряд . Для него так же имеет место равенство , но он сходится по первому признаку сходимости. Заметим, что если отбросить первый член, то члены оставшегося ряда будут меньше соответствующих членов ряда , который сходится (см. пример 7.1.10).

Пример 7.1.11. Исследовать сходимость ряда

Решение. Воспользуемся признаком сходимости Коши. Определим формулу общего члена числового ряда и вычислим предел .

Так как предел конечен и меньше единицы, то по признаку Коши исходный числовой ряд сходится. ►

Приведем без доказательства признак сходимости числовых рядов с положительными членами, который удобно использовать, когда признаки Даламбера и Коши не дают ответа на вопрос о сходимости ряда.

Теорема (Интегральный признак сходимости).Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, т.е. , а функция , определена при , непрерывная и не возрастающая и . Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .

Пример 7.1.12. Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда .

Решение. Пусть . Функция при (а значит и при ) положительна и невозрастающая (точнее убывающая). Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственного интеграла . Имеем .

Если , то .

Если , то

Итак, данный обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . ►

Знакочередующимся рядом называется ряд

, (113)

где , – положительные числа.

Теорема (Признак Лейбница). Если в знакочередующемся ряде (113) члены таковы, что

(114)

и

(115)

то ряд (113) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Замечание. Теорема Лейбница справедлива, если неравенства (114) выполняются, начиная с некоторого номера N.

Теорема Лейбница иллюстрируется геометрически следующим образом. На числовой прямой будем откладывать (рис. 21)частичные суммы:

, , , , …

Рис. 21. Геометрический смысл теоремы Лейбница

Тогда точки, соответствующие частичным суммам будут приближаться к некоторой точке S. При этом точки, соответствующие чётным суммам располагаются слева от S, а нечетным суммам – справа от S.