Формула полной вероятности. Пусть события образуют полную группу попарно несовместимых событий, и пусть событие может произойти с каждым из событий

Пусть события образуют полную группу попарно несовместимых событий, и пусть событие может произойти с каждым из событий , где .

Вероятность события , вычисленная в предположении, что может произойти с каждым , где , называется полной вероятностью события .

Событие можем представить в виде суммы: . Вычислим вероятность события :

Итак, вероятность события , которое может наступить лишь при появлении одного из несовместимых событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события :

, ()

где .

Равенство () называют формулой полной вероятности.

Пример. Была проведена одна и та же контрольная работа в трёх параллельных группах. В первой, где 30 учащихся, оказалось 8 работ, написанных на «отлично». Во второй – 28 учащихся, из которых 6 работ выполнены на «отлично». В третьей – 27 учащихся, из которых 9 выполнили работу на «отлично». Найти вероятность того, что первая взятая наудачу при повторной проверке работа из работ, принадлежащих наудачу выбранной группе, окажется выполненной на «отлично».

Решение. Испытание – выбирают группу из трёх и выбирают одну контрольную работу. Обозначим через событие – работа выполнена на «отлично». Возможны следующие предположения: работа из первой группы, работа из второй группы, работа из третьей группы. Вероятность каждого из предположений равна , т.е. и .

Следовательно, образуют полную группу попарно несовместимых событий.

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Искомую вероятность того, что работа выполнена на «отлично», находим по формуле полной вероятности:

События называются гипотезами.

Условием того, что все гипотезы выдвинуты и нет лишних, является то, что сумма их вероятностей равна 1.