Ответ: 7/16 11 страница

#226

Условие:

Доказать, что если – две независимые случайные величины, то:

Решение:

Докажем по формуле для вычисления дисперсии.

Учитывая, что – независимые величины и, следовательно, так же независимы и что математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, получим:

По определению дисперсии:

Отсюда:

Подставив , после упрощения окончательно имеем:

#236

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания менее чем на три средних квадратических отклонения.

Решение:

Ответ:

#237

Доказать неравенство Чебышева в форме .

Решение:

Так как события и противоположные, то сумма их вероятностей равна единице. Т.е.,

#238

Используя неравенство Чебышева в форме, приведенной в задаче 237, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на два средних квадратических отклонения.

Решение:

Ответ:

#239

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что , если D(X)= 0,004.

Решение:

Ответ:

#240

Дано: и D(X) = 0,009. Используя неравенство Чебышева, оценить ε снизу.

Решение:

#241

Устройство состоит из 10 независимо-работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется:

а) меньше двух;

б) не меньше двух.

Решение:

а) Обозначим через X дискретную случайную величину - число отказавших элементов за время Т. Тогда

Воспользуемся неравенством Чебышева:

Подставив сюда М(Х)=0,5; D(X) =0,475, ε = 2, получим

б) События и противопоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,

#242

В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется:

а) меньше трех;

б) не меньше трех.

Решение:

а) Обозначим через X дискретную случайную величину - число отказавших элементов за время Т. Тогда

Воспользуемся неравенством Чебышева:

Подставив сюда М(Х)=16; D(X) =3.2, ε = 3, получим

б) События и противопоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,

#243

Вероятность появления события А в каждом испытании равна ½. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появлений события А заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 независимых испытаний.

Решение.

Найдем математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в 100 независимых испытаниях:

М(Х) = n*p = 100* ½ = 50; D(X) = n*p*q= 100* ½ * ½ =25.

Найдем максимальную разность между заданным числом появлений события и математическим ожиданием М(Х) = 50:

ε = 60 – 50 = 10.

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме

Р(|Х – М(Х)|< ε) ≥ 1 – D(X)/ε2.

Подставляя М(Х) = 50, D(X) = 25, ε=10, получим

Р(|Х – 50|< 10) ≥ 1 – 25/102=0,75.

#244

Вероятность появления события А в каждом испытании равна ¼. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появлений события А заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 независимых испытаний.

Решение.

Найдем математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в 800 независимых испытаниях:

М(Х) = n*p = 800* ¼ = 200; D(X) = n*p*q= 800* ¼ * ¾ =150.

Найдем максимальную разность между заданным числом появлений события и математическим ожиданием М(Х) = 200:

ε = 250 – 200 = 10.

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме

Р(|Х – М(Х)|< ε) ≥ 1 – D(X)/ε2.

Подставляя М(Х) = 200, D(X) = 150, ε=50, получим

Р(|Х – 200|< 50) ≥ 1 – 150/502 = 1 – 0,06 = 0,94.

#245

Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X 0,3 0,6

р 0,2 0,8

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность

того, что |Х — М(Х)|<0,2.

Решение:

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины X:

M(X)=0,3 0,2 + 0,6 0,8=0,54

D(X)=M(X2)-[M(X)]2= (0,32 0,2+0,62 0,8) – 0,542 =0,0144.

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме

Р (| Х — М (X) | < ) ≥1-D (Х)/ 2

Подставляя М(Х)=0,54, D(X) =0,0144, =0,2, окончательно

получим

Р (| X- 0,54| < 0,2) ≥1 -0,0144/0,04 =0,64.

#246

Дискретная случайная величина X задана законом

распределения

X 0,1 0,4 0,6

р 0,2 0,3 0,5

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность

того, что |Х — М(Х)|<

Решение:

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины X:

M(X)=0,1 0,2 + 0,4 0,3+0,6 0,5 = 0,44

D(X)=M(X2)-[M(X)]2= (0,12 0,2 + 0,42 0,3+0,62 0,5) – 0,442 =0,0364.

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме

Р (| Х — М (X) | < ) ≥1-D (Х)/ 2

Подставляя М(Х)=0,44, D(X) =0,0364, = окончательно

получим

Р (| X- 0,44| < ) ≥1 -0,0364/0,4 =0,909.

#247

Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения

p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Решение:

Для того, чтобы к последовательности случайных величин была применимы теорема Чебышева, достаточно, чтобы

1) эти величины были попарно независимы,

2) имели конечные математические ожидания,

3) имели равномерно ограниченные дисперсии.

Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Проверим, выполняется ли требование конечности математических ожиданий:

Таким образом, каждая случайная величина имеет конечное (равное нулю) математическое ожидание, т.е. второе требование теоремы выполняется.

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсии. Напишем закон распределения :

p

или, сложив вероятности одинаковых возможных значений,

p

Найдём математическое ожидание :

Найдём дисперсию :

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин равномерно ограничены

числом , т.е. третье требование выполняется.

Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима.

Ответ: применима.

#248

Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения

	a	-a
p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Решение:

Для того, чтобы к последовательности случайных величин была применимы теорема Чебышева, достаточно, чтобы

1) эти величины были попарно независимы,

2) имели конечные математические ожидания,

3) имели равномерно ограниченные дисперсии.

Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Проверим, выполняется ли требование конечности математических ожиданий:

Таким образом, каждая случайная величина имеет конечное (равное ) математическое ожидание, т.е. второе требование теоремы выполняется.

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсии. Напишем закон распределения :

	a 2	a 2
p

или, сложив вероятности одинаковых возможных значений,

	a 2
p

Найдём математическое ожидание :

Найдём дисперсию :

Эта функция возрастает, следовательно, чтобы вычислить константу, ограничивающую дисперсию, можно вычислить предел:

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин равномерно ограничены

числом , т.е. третье требование выполняется.

Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима.

Ответ: применима.

#249

Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения

	n+1	-n
p

А) убедиться, что требование теоремы Чебышева о равномерной ограниченности дисперсии не выполняется

Б) можно ли отсюда заключить, что к рассматриваемой последовательности теорема Чебышева неприменима?

Решение:

А) Найдём математическое ожидание :

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсии. Напишем закон распределения :

p

Найдём математическое ожидание :

Найдём дисперсию :

Эта функция возрастает, следовательно, чтобы вычислить константу, ограничивающую дисперсию, можно вычислить предел:

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин неограниченны, что и требовалось доказать.

Б) Из формулировки теоремы Чебышева следует, что требование равномерной ограниченности дисперсий является достаточным, но не необходимым условием, поэтому нельзя утверждать, что к данной последовательности эту теорему применить нельзя.

#250

Задача:

Последовательность независимых случайных величин Х₁, Х₂, …, Х_n, … задана законом распределения

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Решение:

Поскольку случайные величины Х_n независимы, то они подавно и попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Легко найти, что M(X_n)=0, т.е.первое требование конечности математических ожиданий выполняется.

Остается проверить выполнимость требования равномерной ограниченности дисперсий. По формуле

D(X_n)=M(X_n²)-[M(X_n)]²,

учитывай, что M(X_n)=0, найдем (выкладки предоставляются выполнить читателю)

Временно предположим, что n изменяется непрерывно (чтобы подчеркнуть это допущение, обозначим n через х), и исследуем на экстремум функцию φ(х)=х²/2^х-1.

Приравняв первую производную этой функции к нулю, найдем критические точки х₁=0 и х₂=ln 2.

Отбросим первую точку как не представляющую интереса (n не принимает значения, равного нулю); легко видеть, что в точек х₂=2/ln 2 функция φ(х) имеет максимум. Учитывая, что 2/ln 2 ≈ 2.9 и что N – целое положительное число, вычислим дисперсию D(X_n)= (n²/2^n-1)α² для ближайших к числу 2.9 (слева и справа) целых чисел, т.е. для n=2 и n=3.

При n=2 дисперсия D(X₂)=2α², при n=3 дисперсия D(Х₃)=9/4α². Очевидно,

(9/4)α² > 2α².

Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна (9/4)α², т.е. дисперсии случайных величин Хn равномерно ограничены числом (9/4)α².

Итак, все требования теоремы Чебышева выполняются, следовательно, к рассматриваемой последовательности эта теорема применима.

#251

Задача:

Последовательность независимых случайных величин X₁, X₂, …, X_n, … задана законом распределения

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Замечание. Поскольку случайные величины Х, одинаково распределены и независимы, то читатель, знакомый с теоремой Хинчина, может ограничиться вычислением лишь математического ожидания и убедиться, что оно кончено.

Решение:

Поскольку случайные величины Х_n независимы, то они подавно и попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Легко найти, что M(X_n)=0, т.е.первое требование конечности математических ожиданий выполняется.

Остается проверить выполнимость требования равномерной ограниченности дисперсий. По формуле

D(X_n)=M(X_n²)-[M(X_n)]²,

учитывай, что M(X_n)=0, найдем

D(X_n)=2

Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна 2, т.е. дисперсии случайных величин Х_n равномерно ограничены числом 2.

Итак, все требования теоремы Чебышева выполняются, следовательно, к рассматриваемой последовательности эта теорема применима.

#252

Задача:

Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3).

Решение:

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a<X<b)=F(b)-F(a). Положив а=0, b=1/3, получим

#253

Задача:

Случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределена F(x)=1/2+(arctg x)/π. Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1).

Решение:

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a<X<b)=F(b)-F(a). Положив а=0, b=1, получим

Р(0< Х <1) = F(1)-F(0) = [1/2+1/4]_x=1 - [1/2+0]_x=0 = 1/4

#254

Задача:

Случайная величина Х функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (-1, 1).

Решение:

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a<X<b)=F(b)-F(a). Положив а=-1, b=1, получим

Р(-1< Х <1) = F(1)-F(-1) = [1/2+5/6]_x=-1 – [1/2+1/6]_x=1 = 1/3.

#255

Задача:

Функция распределения непрерывной случайной величины Х (времени безотказной работы некоторого устройства) равна F(х)=1-е^-х/T(х≥0). Найти вероятность безотказной работы устройства за время х≥Т.