Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Ответ: 7/16 6 страница



р = 0,8 q = 0,2

Найдём вероятности того, что событие А появится ровно 4 раза и 5 раз в пяти независимых испытаниях и просуммируем:

Ответ: а) 0,1792 б) 0,73728

#114

Задание: Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устрой- устройство отказывает, если работает менее трех элементов.

Решение: По условию , следовательно вероятность стабильной работы каждого элемента . Так как безразлично какой из элементов откажет и вероятности отказа всех элементов равны, применима формула Бернулли.

а) Найдём вероятность того, что будут работать все 3 элемента :

б) Найдём вероятность того, что устройство будет работать при одном дополнительном элементе на протяжении времени t. :

в) Найдём вероятность того, что устройство будет работать при двух дополнительных элементах на протяжении времени t. :

#115

В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков в) более двух мальчиков г) не менее двух и не более трёх мальчиков.

Вероятность рождения мальчиков принять равной 0.51

Решение: По условию =0.51 следовательно вероятность = 0.49 и применима формула Бернулли.

а) Найдём вероятность того, что в семье 2 мальчика:

0.62

б) Найдём вероятность того, что в семье не более двух мальчиков:

в) Найдём вероятность того, что в семье более двух мальчиков:

г) найдём вероятность того, что в семье не менее двух и не более трёх мальчиков:

116......

#117

На отрезок АВ длины а наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем x, а три — на расстоянии, большем x. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Решение: т.к. p = xa - вероятность того, что точка будет находиться на расстоянии меньшем чем x, следовательно, q = 1 – p=1- xa= a-xa. По формуле Бернулли имеем: Pnk= Cnkpkqn-k. P52= C52xa2a-xa3.

#118

Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено восемь точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Решение:

Вероятность того, что точка попадет в нужный отрезок равна р=1/4.

q=3/4

Искомая вероятность равна

Р= С82 С62 С42 С22*(1/4)8

#119

Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Решение: По условию, n=243; k=70; p=0,25; q=0,75. Т.к. n=243 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

Найдем значение x: . По таблице найдем

Тогда искомая вероятность

Ответ: .

#120

Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

Решение: По условию, n=2400; k=1400; p=0,6; q=0,4. Так как n=2400 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

Найдем значение x: .

Так как четная функция, то = .

По таблице найдем

Тогда искомая вероятность

Ответ: 0,0041.

#121

Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

Решение.

Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

(k)= φ(x).

Вычислим x:

X= = =-1,25.

Функция φ(x) четная, поэтому φ(-1,25)= φ(1,25)=0,1826.

Искомая вероятность

.

#122

Вероятность рождения мальчика равна 0,51.

Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных

окажется 50 мальчиков.

Решение:

P(k)= 1/√(npq)*

Вычислим х:

х_р—пр_ 1400—24000,6 _ 40

Vnpq ~ У 2400 -0,6 0,4 "~ 24 ~

Функция ф(^)=—^=е~лг*/'2—четная, поэтому ф(—1,67)=ф(1,67).

По таблице приложения 1 найдем ф(1,67) = 0,0989.

Искомая вероятность

Я24оо A400) = 1/24-0,0989=0,0041.

#123

Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно N раз.

Решение. n=2N, k=N, p=0,5, q=0,5. Для нахождения вероятности выпадения «герба» ровно N раз воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

(N)=φ(x)* 1/ ;

φ(x)= 1/ ;

x=(k-pn)/ ;

x=0; φ(x)≈0,3989; (N)≈0.5641/

#124

Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет на 2m раз больше, чем надпись.

РЕШЕНИЕ.

Т.к. исход каждого испытания не зависит от предыдущих исходов и возможных исходов два («герб» или надпись), то вероятность выпадения «герба» в каждом испытании равна . Всего проведено n=2N испытаний, а «герб» выпал на 2m раза больше, чем надпись, значит обозначим количество выпадений «герба» за t, получим уравнение: . Очевидно, что количество исходов, в которых выпал «герб», равно .

По локальной теореме Лапласа вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, событие наступит ровно k раз, равна:

Подставим значения:

#125

Условие:

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний постоянна и равна . Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее раз и не более раз; б) не менее раз; в) не более раз.

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: , где – функция Лапласа,

a) По условию, . Вычислим :

Учитывая, что функция Лапласа нечетна, т.е. , получим:

.

По таблице приложения найдем:

.

Искомая вероятность:

б) Требование, чтобы событие появилось не менее раз, означает, что число появления событий может быть равно . Таким образом в рассматриваемом случае следует принять . Тогда:

По таблице приложения найдем:

.

Искомая вероятность:

в) События – « появилось не менее раз» и « появилось не более раз» противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. Следовательно, искомая вероятность:

#126

Вероятность появления события в каждом из 2100 испытаний равна 0,7. Найти вероятность того что событие появится не менее 1470 и не более 1500 раз.

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где Ф(х)- функция Лапласа,

,

По условию, n= 2100; p=0,7; q=0,3; k1= 1470; k2= 1500;

Тогда ;

По таблице значений функции Лапласа:

#127

Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний.

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

где и

= (21-14,3/2,1)= (3)=0,4986;

= (11-14,3/2,1)= (-1,7)=0,4532

Так как функция Лапласа нечетная то получим следующее равенство:

= =0,4986+0,4532=0,9518

Ответ: 0,9518

#128

Монета брошена 2N раз (N велико). Найти вероятность того, что число выпадений «герба» будет заключено между числами и .

Решение

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где Ф(х) – функция Лапласа,

,

По условию задачи n=N; p=0,5; q=0,5, = ; = .

Вычислим и :

Итак, получаем:

#129

Задание: Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?

Решение: По условию:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Подставляя данные задачи в формулу, получим

Или

Очевидно, число испытаний , поэтому Поскольку функция Лапласа — возрастающая и , то можно положить . Следовательно,

Таким образом,

По таблице приложения 2 найдем . Отсюда и из соотношения (*), учитывая, что функция Лапласа нечетная, получим

Решив это уравнение, как квадратное относительно получим . Следовательно, искомое число испытаний .

130.....

#131

По условию, ; ; ; . Требуется найти вероятность . Воспользуемся формулой

.

Имеем

.

По таблице приложения 2 найдем . Следовательно, . Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9876.

#132

Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится

от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение: По условию: n = 900; p = 0,5; q = 0,5; ε = 0,02; Требуется найти вероятность: Pm900- 0,5≤0,02. Воспользуемся формулой:

Pmn- p≤ε =2ϕεnpq

Имеем:
Pm900- 0,5≤0,02 =2ϕ0,029000,5*0,5= 2ϕ1,2= 0,7698.

#133

По условию, n=10000, p=0,75, q=0,25, ε=0,01

Требуется найти вероятность P(|m/10000-0,75|≤0,01)

Воспользуемся формулой P(|m/n-p|≤ε)=2Ф(ε* )

Получаем P(|m/10000-0,8|≤0,01)=2Ф(0,01* )=2Ф(4/ )

((4/ )≈2,31)

Ф(4/ )=0,4895

Следовательно, 2Ф=2*0,4895=0,979

Ответ: 0,979

#134

Французский ученый Бюффон бросил монету 4040 раз, причем «герб» появился 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления «герба» отклониться от вероятности появления «герба» по абсолютной величине не более чем в опыте Бюффона.

Решение.

n=4040; k=2048; p=0,5

Воспользуемся формулой P(|mn-p| ≤ε) = 2Ф(εnpq).

ε= |20484040 – 0,5|= 0,507 – 0,5= 0,007

x= 0,007 *40400,5*0,5 = 0,89

Ф(0,89) = 0,3133

2Ф(0,89) = 0,6296

#135

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение:

По условию, р = 0,5; q = 0,5; =0,02;

Р (| m/n-0,5| ≤ 0,02) = 0,7698.

Воспользуемся формулой Р(|m/n - p| ≤ ) = 2Ф ( )

В силу условия 2Ф ( ) = 0,7698

или Ф(0,04 )=0,3849.

По таблице приложения 2 найдем Ф(1,2) = 0,3849.

Следовательно, 0,04 = 1,2 или = 30

Таким образом, искомое число испытаний n =900.

#136

Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы вероятность неравенства

| m/n- 1/6| ≤ 0,01 была не меньше чем вероятность противоположного неравенства, где m—число появлений одного очка в n бросаниях игральной кости?

Решение:

Воспользуемся формулой Р(|m/n - p| ≤ ) = 2Ф ( )

По условию, р=1/6, q = 5/6, = 0,01. Вероятность осуществления

неравенства, противоположного заданному, т.е. неравенства | m/n- 1/6| 0,01, равна

1- 2Ф ( )

Согласно условию должно иметь место неравенство 2Ф ( )≥ 1- 2Ф ( )

или 4Ф ( )≥ 1, отсюда Ф ( )≥ 0,25

По таблице приложения 2 найдем Ф(0,67) =0,2486; Ф(0,68) = 0,2517.

Выполнив линейную интерполяцию, получим Ф (0,6745) =0,25.

Учитывая соотношение (*) и принимая во внимание, что функция Ф (*)— возрастающая, имеем

или 0,01 )≥ 0,6745

Отсюда искомое число бросаний монеты n≥632.

#137

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти наименьшее число испытаний n, при котором с вероятностью 0,99 можно

ожидать, что относительная частота появлений события

отклонится от его вероятности по абсолютной величине

не более чем на 0,04.

Решение:

По условию, р = 0,2; q = 0,8; =0,04;

Воспользуемся формулой Р(|m/n - p| ≤ ) = 2Ф ( )

Получим Р(|m/n – 0,2| ≤ 0,04) = 2Ф (0,04 )

2Ф (0,04 )=0,99 или Ф(0,1 )=0,495.

По таблице приложения 2 найдем Ф(2,56) =0,4948; Ф(2,58) = 0,4951

Выполнив линейную интерполяцию, получим Ф (2,573) =0,495.

Следовательно 0,01 =2,573

Отсюда n=661

#138

В урне содержатся белые и черные шары в отношении 4:1. После извлечения шара регистрируется его цвет и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений n, при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01?





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 12918 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.032 с)...