Решение. Обозначим общий производственный стаж рабочих через х, а их месячную заработную плату — через у

Обозначим общий производственный стаж рабочих через х, а их месячную заработную плату — через у. Тогда уравнение прямой регрессии между заработной платой и стажем рабочих будет:

.
Для нахождения параметров этого уравнения необходимо решение следующей системы линейных уравнений:

Для выполнения вычислений составим расчетную таблицу:

y\x								Итого
2,5
7,5					1425 14250	1575 3150
12,5
17,5
22,5
27,5
Итого

Замечание. В левом верхнем углу каждой клеточки таблицы показано произведение ху, в нижнем правом углу m — частота такого сочетания, в середине — произведение ху на частоту т (при значении частоты, равном единице, произведение ху=тху, и поэтому произведение тху не показывается).

Из этой таблицы определяется величина ∑ тху, равная 187100. Для получения остальных величин, входящих в систему нормальных уравнений, составим расчетные таблицы, введя в них одновременно и величины, необходимые для расчета коэффициента корреляции. Произведем расчет вспомогательных величин по факторному признаку.

x	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	Итого
тх
тх x
тхх2		1462,5	2812,5

Затем рассчитаем вспомогательные величины по результативному признаку:

y								Итого
ту
ту y
ту y2

Подставим найденные значения в систему уравнений и получим:

100 а₀ +1000 a₁ =17200;

1000 а₀+ 15225 а₁ =187100.

В результате совместного решения уравнений находим: a₀=143,1 и a₁=2,89. Искомое уравнение прямой регрессии примет вид

.

Это уравнение показывает, что между общим производственным стажем и заработной платой рабочих имеется прямая связь: с увеличением стажа на один год размер месячной заработной платы возрастает в среднем на 2р. 89к. (а₁).

Коэффициент корреляции исчисляется по формуле:

Для нахождения значения знаменателя в формуле коэффициента корреляции вычислим среднее квадратическое отклонение величин факторного признака по формуле:

где ,

а результативного — соответственно по формуле:

где .

Подставим найденные величины в формулу коэффициента корреляции и получим:

Полученное значение коэффициента корреляции указывает на наличие достаточно тесной линейной связи между общим производственным стажем и заработной платой рабочих.

Если имеются равные интервалы отдельно по факторному и по результативному признакам, как, например, в данной задаче, нахождение коэффициента корреляции целесообразно производить с помощью следующей формулы:

,

где и условные варианты признаков при равных интервалах;

т_х, т_у, и т_ху — частоты групп и подгрупп по х и у.

Так, для рассматриваемой задачи: х₀=12,5, h_х=5, y₀=170 и h_v = 20. Тогда корреляционная таблица будет иметь следующий вид:

	-3	-2	-1		+1	+2	+3	mx	mx x’	mx (x’)2	mxyx’y’
-2									-64
-1					-1	-2 -4			-26		-4
+1
+2
+3
my									-50
туу'	-15	-20	-20
my(y’)2

Искомый коэффициент корреляции составит:

Средняя ошибка коэффициента корреляции определяется по формуле:

где r — коэффициент корреляции;

n — объем совокупности.

Подставим в эту формулу полученные данные:

Отношение коэффициента корреляции к его погрешности равно 13 (0,69:0,052), следовательно, можно считать, что полученный коэффициент корреляции достаточно точно выражает степень связи рассматриваемых показателей.

Коэффициент корреляции, уменьшенный на трехкратную величину погрешности, дает гарантийный минимум, а увеличенный на трехкратную величину погрешности — соответственно гарантийный максимум. Так, в данной задаче гарантийный минимум составляет 0,534-(0,69—3x0,052), а гарантийный максимум равен 0,846 (0,69+Зx0.052). Это означает, что для рассматриваемого примера можно ожидать, что не меньше 28,5% (0,534x0,534x100) вариации месячной заработной платы рабочих вызвано вариацией величины общего производственного стажа.