Прогнозирование в рядах динамики

Полученные при анализе динамических рядов характеристики используются для получения статистических прогнозов, под которыми понимаются статистические оценки состояния явления в будущих периодах.

Статистическое прогнозирование основано на предположении, что закономерность развития, основная тенденция, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в будущем. Такое предположение называется экстраполяцией. Теоретической основой распространения тенденции на будущее является инерционность социально-экономических явлений.

Следует иметь в виду, что экстраполяция в рядах динамики носит приближенный характер. Точность прогноза зависит от сроков прогнозирования: чем они короче, тем надежнее результат экстраполяции, так как за короткий период времени не успевают значительно измениться условия развития явления и характер его динамики. Обычно рекомендуется, чтобы срок прогноза не превышал 1/3 длительности базы расчета тренда.

С помощью метода экстраполяции получают два вида прогноза: точечные и интервальные.

Точечный прогноз представляет собой конкретное численное значение уровня в прогнозируемый период (момент) времени.

Интервальный прогноз – диапазон численных значений, предположительно содержащий прогнозируемое значение уровня.

В зависимости от того, какие принципы и исходные данные положены в основу прогноза, выделяют следующие методы экстраполяции (прогнозирования):

• на основе среднего абсолютного прироста ,

• на основе среднего коэффициента роста ,

• на основе аналитического выравнивания ряда.

Метод прогнозирования на основе среднего абсолютного прироста применяется в том случае, если уровни изменяются равномерно (линейно). Прогнозируемое значение уровня определяется по формуле:

, где (25)

- экстраполируемый уровень;

- конечный уровень ряда динамики;

l – период упреждения прогноза (срок экстраполяции).

Прогнозирование по среднему коэффициенту роста применяется, если общая тенденция характеризуется экспоненциальной кривой. В этом случае экстраполируемый уровень определяется по формуле:

(26)

Прогнозирование на основе аналитического выравнивания является наиболее распространенным методом прогнозирования. Для получения прогноза используется аналитическое выражение тренда. Чтобы получить прогноз, достаточно в модели продолжить значение условного показателя времени t_i до t_n+i.

Интервальные прогнозы имеют значительные преимущества перед точечными – они учитывают вероятность свершения прогноза. Величина доверительного интервала определяется в общем виде так:

, где (27)

- коэффициент доверия по распределению Стьюдента;

- средняя квадратическая ошибка тренда, рассчитываемая по формуле:

n – число уровней исходного ряда,

m – число параметров трендового уравнения.

Коэффициент доверия выбирается по таблице распределения Стьюдента.

Таким образом, при использовании интервального прогноза:

(28)

Упражнения и задачи

Задача 8.1.

Имеются условные данные (табл. 8.12) о производстве картофеля в регионе.

Таблица 8.12 - Производство картофеля в регионе (в старых и новых границах), тыс. т.

Показатель	Год
В границах региона: старых новых	1850,0	1930,5	2020,0 2444,2	2680,9	2800,4

Получить сопоставимый ряд динамики производства картофеля в регионе в новых границах.

Задача 8.2.

Имеются фактические данные (табл. 8.13) о продаже молока и молочных продуктов в регионе за 2008 г.

Таблица 8.13- Продажа молока и молочных продуктов в регионе по кварталам 2008 г., тыс.т

Показатель	Квартал года
I	II	III	IV
Продано молока и молочных продуктов	336,2	340,7	342,1	359,0

Получить ряд динамики сопоставимых уровней продажи молока и молочных продуктов в регионе.

Задача 8.3.

Имеются данные (табл. 8.14) о производстве яиц в регионе:

Таблица 8.14 - Производство яиц в регионе, млн. шт.

Годы
Млн. шт. Yi	22,6	23,5	23,7	22,1	24,8	26,0	26,7	29,7	30,8

Определите показатели динамики производства яиц в регионе (цепным и базисным способом).

Задача 8.4.

По данным задачи 8.3.:

1.Выявите основную тенденцию производства яиц в регионе.

2.Рассчитайте прогноз производства яиц в регионе на ближайшие 3 года.

Задача 8.5.

Динамика производства пиломатериалов в Брянской области за 2002-2007 гг. характеризуется следующими данными (табл. 8.15):

Таблица 8.15 - Производство пиломатериалов в Брянской области, тыс. м³

пиломатериалы	137,0	166,7	168,5	176,8	209,3	204,5

Проанализируйте динамику производства пиломатериалов в Брянской области за 2004-2007 гг. с помощью аналитических показателей динамического ряда (цепным и базисным способом).

Постройте график производства пиломатериалов в Брянской области за 2004-2007 гг.

Задача 8.6.

Используя данные задачи 8.5., рассчитайте среднегодовое производство пиломатериалов в Брянской области за 2004-2007 гг.

Задача 8.7.

Используя данные задачи 8.5., определите значение среднего абсолютного прироста производство пиломатериалов в Брянской области.

Задача 8.8.

Используя данные задачи 8.5., определите средний темп роста производства пиломатериалов в Брянской области за 2004-2007 гг.

Задача 8.9.

Остатки вкладов населения в банках в I квартале приведены в табл 8.16.

Таблица 8.16 – Остатки вкладов населения, млрд. руб.

Показатель	на 1.01	на 1.02	на 1.03	на 1.04	на 1.05	на 1.06	на 1.07
Остатки вкладов	1416,3	1511,9	1611,6	1661,0	1740,5	1830,5	1928,0

Определите среднемесячный размер остатков вкладов населения в банках за первое полугодие.

Задача 8.10.

Имеются следующие данные о перевозке грузов железнодорожным транспортом в регионе по месяцам 2008 г., млн т:

Январь – 7,8	Июль – 9,3
Февраль – 8,2	Август – 9,9
Март -9,5	Сентябрь – 9,5
Апрель – 9,1	Октябрь – 9,9
Май – 9,5	Ноябрь – 9,7
Июнь – 9,0	Декабрь – 9,8

Преобразуйте исходные данные путем укрупнения периода времени (квартал). Нанесите полученные квартальные уровни на график. Сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления.

Задача 8.11.

Рассмотрите применение метода скользящей средней на основании данных задачи 8.10. Нанесите полученные при сглаживании данные на график. Сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления.

Задача 8.12.

Рассмотрите применение метода аналитического выравнивания по прямой для выражения общей тенденции на примере данных о перевозке грузов железнодорожным транспортом в регионе по месяцам 2008 г. (см. задачу 8.10.). Изобразите графически фактические уровни динамики и уровни, полученные при аналитическом выравнивании.

Сделайте выводы.

Задача 8.13.

Имеются следующие данные (табл. 8.17) о распределении браков.

Таблица 8.17 - Распределение браков, заключенных населением региона по месяцам 2006-2008 гг.

Месяц	Год	Месяц	Год
Январь				Июль
Февраль				Август
Март				Сентябрь
Апрель				Октябрь
Май				Ноябрь
Июнь				декабрь

Для анализа внутригодовой динамики заключения населением браков определите индексы сезонности методом постоянной средней. Изобразите графически сезонную волну заключения населения браков по месяцам года. Сделайте выводы.

Контрольные вопросы

1. Какое значение имеют ряды динамики в статистической работе?

2. Какие существуют виды рядов динамики и в чем состоят их особенности?

3. Какова методика расчета средних уровней для периодических и моментных рядов динамики?

4. Какие существуют показатели анализа рядов динамики и порядок их вычисления?

5. Каковы приемы проявления тенденции развития динамических рядов и их значение в анализе?

6. Что является составными элементами ряда динамики?

7. Допускается ли суммирование уровней моментного ряда?

8. Что является важнейшим условием правильности построения ряда динамики?

9. Какие причины вызывают несопоставимость уровней ряда динамики?

10. Как называется разность между последующим и предыдущим уровнями ряда?

11. Как называется отношение последующего уровня ряда к предыдущему?

12. Что является в общем случае компонентами ряда динамики?

13. Как называется модель, в которой компоненты ряда суммируются?

14. Как называется модель, в которой компоненты ряда умножаются?

15. Какая тенденция может наблюдаться в социально - экономических рядах?

16. Как называется тенденция изменения связи между отдельными уровнями ряда?

17. Для чего предназначен метод Фостера – Стюарта?

18. Для чего предназначен метод простой скользящей средней?

19. Какие уравнения используются для отображения основной тенденции ряда динамики?

20. С помощью чего могут быть описаны сезонные колебания в ряду динамики?

Тема №9

Индексный метод в статистических исследованиях

9.1 Индексы: их сущность и назначение

Индекс – это относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления в данных условиях отличается от уровня того же явления в других условиях. Различие условий может проявляться во времени (тогда говорят об индексах динамики), в пространстве (территориальные индексы), в выборе в качестве базы сравнения какого-либо условного уровня, например планового показателя, уровня договорных обязательств и т.п. Соответственно вводят индекс выполнения обязательств или, если плановый уровень сравнивается с уровнем предыдущего периода, – индекс планового задания.

В экономическом анализе индексы используются не только для сопоставления уровней изучаемого явления, но главным образом для определения экономической значимости причин, объясняющих абсолютное различие сравниваемых уровней.

При помощи индексов можно характеризовать изменения различных показателей (объемов выпуска продукции, цен, себестоимости продукции, численности работающих, производительности труда, з/п и т.д.).

Эти показатели можно подразделить на две группы:

1) одни из них являются объемными (количественными), например: объем выпуска продукции, численность работающих, фонд заработной платы и др.

2) другие показатели рассчитываются на единицу продукции (себестоимость продукции, производительность труда, цена). Эти показатели называются качественными и выражаются они в форме средних величин.

В теории индексов тот показатель, изменение которого характеризует индекс, называется индексируемой величиной.

В статистике для обозначения индексируемой величины применяется соответствующая символика:

- объем выпуска – q;

- цена – р;

- затраты времени на единицу продукции (трудоемкость) – t;

- выработка продукции в единицу рабочего времени – w;

- заработная плата – f;

- себестоимость – z;

- фондоотдача – Н;

- объем основных производственных фондов – Ф;

- численность работающих –T;

- товарооборот – Q;

- общие затраты (расходы) на производство – С;

- общий фонд оплаты труда – F.

Чтобы различать к какому периоду относится индексируемая величина, принято возле соответствующего символа ставить знаки: 1 – для отчетного периода; 0 – для периодов, с которыми сравниваются отчетные показатели.

9.2 Индивидуальные индексы и их применение в экономическом анализе

Относительная величина, получаемая при сравнении уровней, называется индивидуальным индексом, если исследователь не интересуется структурой изучаемого явления и количественную оценку уровня в данных условиях сравнивает с такой же конкретной величиной уровня этого явления в других условиях.

Так, уровень товарооборота в виде суммы выручки от продажи товара в условиях отчетного года Q₁ сравнивается с аналогичной суммой выручки базисного года Q₀. В итоге получаем индивидуальный индекс товарооборота i_Q=Q₁ / Q₀.

Аналогичные индивидуальные индексы можно рассчитать и для любого интересующего нас показателя. В частности, поскольку сумма выручки определяется ценой товара (р) и количеством продаж в натуральном измерении (q), можно определить индивидуальные индексы цены i_p и количества проданных товаров – i_q:

С аналитической точки зрения i_q показывает, во сколько раз увеличилась (или уменьшилась) общая сумма выручки под влиянием изменения объема продажи в натуральных единицах.

Аналогично i_p показывает, во сколько раз изменилась общая сумма выручки под влиянием изменения цены товара. Очевидно, что

Вторая формула представляет двухфакторную индексную мультипликативную модель итогового показателя, в данном случае – объема товарооборота. Посредством такой модели находят прирост итога под влиянием каждого фактора в отдельности.

Так, если выручка от продажи некоторого товара возросла с 8 млн. руб. в предыдущем периоде до 12,180 млн. руб. в последующем и известно, что это объясняется увеличением количества проданного товара на 5 % при цене на 45 % большей, чем в предыдущем периоде, то можно записать следующее соотношение:

12,180 = 8 × 1,05 × 1,45 (млн. руб.).

Очевидно, что общий прирост выручки в сумме 12,180-8 = 4,180 млн. руб. объясняется изменением объема продажи и цены. Прирост выручки за счет изменения объема продажи (в натуральном выражении) составит или в нашем примере

Тогда за счет изменения цены данного товара сумма выручки изменилась на или

Очевидно, что общий прирост товарооборота складывается из приростов, объясняемых каждым фактором в отдельности, т.е. или

Можно заметить, что существует и другой способ распределения общего прироста по факторам в двухфакторной индексной мультипликативной модели, а именно:

В нашем примере общий прирост выручки (4,18 млн. руб.) объясняется теперь:

изменением цены

изменением объема продажи

Выбор конкретной формы разложения общего прироста итога должен определяться конкретными условиями развития изучаемого показателя, в данном случае – конъюнктурой спроса-предложения. В экономической практике и большинстве научных рекомендаций в настоящее время преобладает первое направление, когда сначала выясняют вклад в общий прирост количественного фактора при базисном уровне качественного признака (цен), а затем – вклад качественного фактора (цены) в расчете на отчетный уровень количественного показателя (объема – q).

9.3 Общие индексы и их применение в анализе

Если известно, что изучаемое явление неоднородно и сравнение уровней можно провести только после приведения их к общей мере, экономический анализ выполняют посредством так называемых общих (сводных) индексов.

Основные элементы общих индексов:

- индексируемая величина (признак, значение которого является объектом изучения);

- коэффициент соизмерения (весы). С его помощью переводятся в сопоставимый вид разнообразные элементы.

Индекс становится общим, когда в расчетной формуле показывается неоднородность изучаемой совокупности. Примером неоднородной совокупности является общая масса проданных товаров всех или нескольких видов. Тогда сумму выручки можно записать в виде агрегата (суммы произведений взвешивающего показателя на объемный), например: .

Отношение агрегатов, построенных для разных условий, дает общий индекс показателя в агрегатной форме. Так, например, получают индекс общего объема товарооборота в агрегатной форме:

Агрегатная форма индекса наряду с индексируемым признаком (динамика которого изучается) содержит признак – вес, который и позволяет соизмерить разнородные элементы совокупности. Его значение в агрегатном индексе должно быть неизменным, чтобы не искажать оценку изменения индексируемого признака.

Однако возникает вопрос: за какой период (базисный или текущий) необходимо включать в расчет индекса признак – вес? Индексы должны составлять систему с учетом следующего правила: при расчете индекса качественного показателя веса берутся за отчетный период, а при расчете индекса объемного (количественного) показателя – веса берутся за базисный период.

Агрегатная форма общих индексов количественных и качественных

показателей

Наиболее типичным общим индексом количественных показателей является индекс физического объема.

Влияние на прирост товарооборота изменения количества проданных товаров отражается агрегатным индексом физического объема I_q, который строится также в предположении первичности изменения количественных показателей (q) и вторичности влияния качественных (р):

Рассчитанный по данной формуле индекс физического объема продукции показывает, во сколько раз изменился физический объем продукции или сколько процентов составляет его уменьшение (рост) в текущем периоде по сравнению с базисным.

Разность между числителем и знаменателем индекса свидетельствует об абсолютном росте или абсолютном уменьшение стоимости выпущенных товаров в текущем периоде по сравнению с базисным периодом в сопоставимых ценах на уровне базисного периода.

Индексы качественных показателей представлены следующими индексами:

Индексы цен

В международной статистической практике в настоящее время наиболее широко применяются формулы индексов цен Ласпейреса (с базисными весами), Пааше (с текущими весами) и Фишера.

В 1871 г. немецким экономистом Е. Ласпейресом предложен индекс цен Ласпейреса, где в качестве соизмерителя используется объем продукции по разновидности в базисном периоде q₀. Индекс Ласпейреса рассчитывается по формуле:

Индекс цен Пааше предложен в 1874 г. немецким экономистом Г. Пааше. В индексе в качестве соизмерителя используется объем продукции соответствующего вида в текущем периоде q₁. Индекс Пааше рассчитывается по формуле:

Как правило, значения индексов цен Пааше и Ласпейреса не совпадают.

Отличие значений объясняется тем, что индексы имеют различное экономическое содержание

Индекс цен, исчисленный по формуле Пааше, дает ответ на вопрос, на сколько товары в текущем периоде стали дороже (дешевле), чем в базисном.

Индекс цен Ласпейреса показывает во сколько бы раз товары базисного периода подорожали (подешевели) из - за изменения цен на них в отчетный период.

Индекс цен, рассчитанный по формуле Пааше, имеет тенденцию некоторого занижения, индекс Ласпейреса завышения темпов инфляции.

Индекс Ласпейреса (L) в ряде случаев больше индекса Паше (Р). Эта систематическая зависимость двух индексов известна в статистике как эффект Гершенкропа.

Учитывая имеющееся несоответствие между индексами Паше и Ласпейреса, И.Фишером в международном сопоставлении предложен «идеальный индекс» (индекс Фишера), как среднегеометрическая величина из двух вышеупомянутых индексов: .

В настоящее время остается проблема подбора универсальной системы выбора соизмерителя в агрегатных индексах цен. Однако она компромиссно решается использованием индексов Паше или Ласпейреса в конкретных условиях применения.

Влияние на прирост товарооборота общего изменения цен выражается агрегатным индексом цен I_p, который в предположении первичности изменения количественного показателя (q) и вторичности – качественного (р) имеет вид:

Индекс себестоимости продукции рассчитывается по формуле:

Рассчитанный по данной формуле индекс себестоимости продукции показывает, во сколько раз уменьшился (увеличился) в среднем уровень себестоимости продукции, произведенную в текущем периоде, или сколько процентов составляет его уменьшение (рост) в текущем периоде по сравнению с базисным.

Разность между числителем и знаменателем индекса характеризует экономию (-) или перерасход (+) от изменения себестоимости единицы продукции.

Индекс производительности труда по расходам на единицу продукции рассчитывается по формуле:

В отличие от приведенных выше формул других агрегатных индексов, в этом индексе базисная величина индексируемого показателя (t₀) находится в числителе, а текущая величина (t₁) – в знаменателе. Это происходит потому, что затраты труда на единицу продукции и производительность труда связаны обратной зависимостью (w = 1/t).

Рассчитанный по данной формуле индекс производительности труда показывает, во сколько раз возрос (уменьшился) в среднем общий уровень трудоемкости текущего (отчетного) периода по сравнению с базисным.

Разность между числителем и знаменателем индекса показывает возрастание (+) или уменьшение (-) трудоемкости базисного периода на всю продукцию по сравнению с текущим.

Агрегатная форма общих индексов смешанных показателей

Приведем формулы расчета некоторых наиболее употребительных агрегатных индексов.

1) В форме мультипликативной индексной модели динамика товарооборота будет выражаться соотношениями

где

Если принимается предположение об очередности влияния факторов – сначала q, а затем р, то общий прирост товарооборота будет распределяться по факторам следующим образом:

Если же принимается предположение об обратной последовательности влияния факторов – сначала р, затем q, то меняются и формулы разложения прироста и формулы расчета индексов I_q и I_p. Тогда

где

2) Индекс изменения общей суммы затрат на производство продукции в зависимости от объема производства (q) и затрат на единицу (z):

3) Индекс изменения общего фонда оплаты труда в связи с изменением общей численности работающих (Т) и заработной платы (f):

4) Индекс изменения объема продукции в связи с изменением численности работающих (Т) и уровня их выработки (w):

5) Индекс изменения объема продукции в связи с изменением объема основных производственных фондов (Ф) и показателя эффективности их использования – фондоотдачи (Н):

Аналогичным образом находят общие агрегатные индексы и по многим другим экономическим показателям. Нетрудно заметить, что используемые в приведенных формулах индексы I_q, I_Т, I_ф получаются по методу индекса физического объема, а индексы I_z, I_f, I_W, I_H – по методу индекса цен. Таким образом, рассмотренная выше методика распределения общего прироста товарооборота полностью приложима к анализу прироста продукции, изменения общих затрат на производство, изменения общего фонда оплаты труда и т.д.

Одним из важнейших показателей статистики цен, широко используемым в экономической и социальной политике, является индекс потребительских цен (ИПЦ). Он находит широкое использование при пересмотре социальных программ, служит основой для повышения минимального размера заработной платы, отражает реальную покупательную способность денег.

Методика расчета этого показателя включает отбор товаров (услуг) - представителей и торговых предприятий, по которым производится регистрация цен.

Индекс - дефлятор рассчитывается как отношение фактической стоимости продукции отчетного периода к стоимости объема продукции, структура которого аналогична структуре отчетного года, но определенного в ценах базисного года.

9.4 Средневзвешенные индексы

Агрегатный способ представления общих индексов в статистике является наиболее распространенным. Вместе с тем используется и другой подход расчета общих индексов как средних из соответствующих индивидуальных индексов, или средневзвешенных индексов.

К расчету средневзвешенных индексов обращаются в тех случаях, когда первичная (исходная) информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс. Существует две формы средневзвешенных индексов: среднеарифметическая и среднегармоническая. Как правило, средний арифметический индекс применяется при индексации количественных показателей (например, физического объема продукции), а средний гармонический – при индексации качественных показателей (например, цен).

При расчете среднего арифметического индекса индексируемая величина числителя выражается через индивидуальный индекс.

Например, необходимо вычислить общий индекс физического объема продукции I_q, когда по исходным данным известны индивидуальные индексы физического объема () и стоимость продукции каждого вида за базисный период (). Тогда общий индекс физического объема продукции можно определить как среднюю арифметическую взвешенную из индивидуальных индексов. Для этого заменяем неизвестное количество продукции отчетного периода () произведением . Тогда общий индекс физического объема продукции приобретет вид:

Эта формула представляет собой среднюю арифметическую из индивидуальных индексов физического объема продукции, взвешенную по стоимости продукции базисного периода.

Если индексируемая величина выражается через индивидуальный индекс в знаменателе, то индекс имеет название среднего гармонического индекса.

Например, известны индивидуальные индексы цен () и стоимость каждого вида продукции за текущий (отчетный) период (), но неизвестны данные о цене единицы продукции за базисный период (). Чтобы найти средний гармонический индекс цен, цену базисного периода () заменяем тождественным ей соотношением . Вследствие этого индекс цен будет иметь вид:

Эта формула представляет собой среднюю гармоническую из индивидуальных индексов цен, взвешенную по объему продукции текущего периода.

Пример. Имеются следующие данные:

Вид изделия	Произведено в отчетном периоде, тыс. шт. q	Затраты на 1 изд, чел./час
в отчетном периоде t1	в базисном периоде t0
А			2,3
Б		1,5	1,8
В		0,5	0,55

Индивидуальные индексы производительности труда () составят: по изд.А ; по изд.Б ; по изд.В ;

Общий индекс производительности труда в агрегатной форме составит:

Общий индекс производительности труда как средний из индивидуальных индексов составит: