Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые вытекают из самой формулы этой величины: х=Σx·f/Σf

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые вытекают из самой формулы этой величины: х=Σx·f/Σf

1. Сумма отклонений индивидуального значения признака равна нулю.

Σ(x_i-x)·f_i=0

2. Средняя постоянная величины равна самой величине

3. От уменьшения или увеличения всех вариантов осредняемой величины в a раз, величина средней уменьшается или увеличивается в а раз.

x_i*=a·x_i

x*=Σx_i*f_i/Σf_i=Σax_i*f_i/Σf_i=a/Σf_i·Σx_if_i=a·x

4. От уменьшения или увеличения всех значений усредненного признака на величину а их средняя уменьшается на величину а.

x_i*=a±x_i

x*=Σx_i*f_i/Σf_i=Σ(a±x_i)*f_i/Σf_i=Σx_if_i/Σf_i±Σaf_i/Σf_i=x±a

5. От увеличения или уменьшения веса каждого варианта в А раз величина средней не изменится

f_i*=f_i/A

x*=Σx_i·(f_i*/A)/(Σf_i/A)= Σx_if_i/Σf_i=x

6. Величина средней зависит не от самих абсолютных значений весов отдельных вариантов признаков, а от пропорций между ними. (Это свойство подчеркивает вклад каждого признака в значение средней).

На основании этого свойства при исчислении средних величин можно использовать можно использовать не абсолютное значение весов (частот), а их относительное значение (частость, доля, т.е. удельный вес признака в общем объеме совокупности).

p_i=f_i/Σf_i

x=(Σx_i·p_i)/100% Σp_i=100%

или

x=Σx_i·p_i Σp_i=1 (доля)

7. Средняя величина, умноженная на объем совокупности, равна сумме произведений значений признака на частоту.

Σx_i*f_i=x_iΣf_i

8. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от любой другой величины.

Σ(x_i-x)²f_i<Σ(x_i-B)²f_i

Σ(x_i-x)²<Σ(x_i-B)²

Σ(x_i-B)²f_i-Σ(x_i-x)²f_i = (x_i-B)²Σf_i

Σ(x_i-B)²-Σ(x_i-x)² = n(x_i-B)²