Потоки финансовых платежей

Основные понятия

Потоки финансовых платежей, или финансовые, денежные потоки, представляют собой ряд следующих друг за другом выплат и поступлений денег в рамках одной финансовой операции.

Аннуитет – это 1). платежи, PVF современная стоимость регулярного финансового платежа (платежей). К таким платежам относятся погашение кредита, выплата долга, взносы при страховании, создание амортизационного фонда и т. п.;

2). вид государственного долгосрочного займа, по которому кредитор ежегодно получает определенный доход (ренту), устанавливаемый с учетом постепенного погашения суммы долга вместе с процентами по нему.

Регулярные финансовые потоки – это финансовые потоки, в которых поступление средств осуществляется через одинаковые промежутки времени вне зависимости от происхождения и назначения платежей.

Классификация аннуитетов:

1. В зависимости от того варьирует ли размер разового платежа или нет:

- постоянные аннуитеты;

- переменные аннуитеты.

2. По времени осуществления платежей (в начале процентного периода или в конце процентного периода):

- аннуитет prenumerando;

- аннуитет postnumerando.

3. По наличию принципа условия:

- безусловные аннуитеты;

- условные аннуитеты (выплачиваемые при наступлении какого-либо события).

4. По времени их действия:

- немедленные аннуитеты, действие которых начинается после заключения договора;

- отложенные аннуитеты, платежи по которым производятся по истечении оговоренного периода.

5. По продолжительности периода:

- годовые аннуитеты;

- полугодовые аннуитеты;

- ежемесячные и другие аннуитеты.

Обозначения, используемые для анализа аннуитетов:

R – суммарный годовой платеж (размер суммы, которая переходит от одного владельца к другому в течении года, либо предполагается возможность такого перехода);

p – число раз поступлений отдельных платежей в течении года;

PMT – сумма отдельного разового платежа, для постоянного аннуитета равна R/p;

n – время, период; срок потока платежей;

m – число раз в году начислений процентов исходя из ставки j в течении года;

i (j) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании отдельных платежей, из которых состоит поток.

Наращенная стоимость аннуитета (FVA) – это сумма всех последовательных платежей с начисленными на них процентами к концу срока операции.

Для осуществления расчетов при условии осуществления платежей и начисления процентов 1 раз в год: m = p = 1, используют следующие формулы:

FVA^post = PMT = PMT ,

где – коэффициент (множитель) наращения обычной финансовой ренты.

FVA^prenum = PMT ,

где – коэффициент (множитель) наращения.

Если вложения и капитализация осуществляются чаще, чем раз в год: m = p ≠ 1, то применяется следующая формула:

FVA^post = PMT .

Если вложения осуществляются реже, чем капитализация, т. е. p < m, p = 1, то применяется следующая формула:

i = ,

FVA^post = PMT .

Если вложения осуществляются чаще, чем капитализация, т. е. p > m, m = 1, то применяется следующая формула:

,

FVA^post = PMT .

Универсальная формула, которая может быть использована при любом случае:

FVA = PMT .

Современная стоимость регулярных финансовых потоков (срочных аннуитетов (PVA)) – это сумма всех платежей, дисконтированных на начало периода первого платежа.

Дисконтирование аннуитета postnumerando выглядит следующим образом:

PVA = PMT ,

где – коэффициент современной стоимости срочного аннуитета.

Для конкретных вариантов формула видоизменяется следующим образом:

1). При m = p = 1:

PVA = PMT .

2). При p < m, p = 1:

PVA = PMT .

3). При m ≠ p ≠ 1:

PVA = PMT .

Дисконтирование аннуитета prenumerando выглядит следующим образом:

PVA^prenum = PMT(1+i) .

Примеры

Пример 3.1. Ежегодно в конце года в течении 4 лет на специальный счет поступают 50 ден. ед. Определить наращенную стоимость, если ежегодно в конце года осуществляется начисление сложных процентов по ставке 10%.

Дано:

Срочный аннуитет

postnumerando

PMT = R = 50 ден. ед.

p = 1

m = 1

i = 10% годовых

n = 4 года

Определить:

FVA =?

Решение:

FVA^prenum = R 50*4,641 = 232,05 д. е.

Пример 3.2. Для погашения задолженности единовременным платежом через 2 года должником в кредитном учреждении создается амортизационный (погасительный) фонд, в котором постепенно накапливаются достаточные для этого средства. Определить размер равных взносов в конце полугодия для создания через 2 года погасительного фонда 500 млн. руб. Фонд создается в кредитном учреждении, которое начисляет проценты ежеквартально исходя из годовой ставки 80%.

Дано:

P = 2 раза

N = 2 года

FVA = 500 млн. руб.

m_j = 4

j = 80%

Определить:

PMT =?

Решение:

PMT = FVA: млн. руб.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Определите размер разовых взносов на счет под 10% годовых с ежеквартальным обслуживанием, чтобы через 2,5 года собрать 725000 руб. Взносы осуществляются один раз в год.

2. Для создания погасительного фонда предприятие в течение 3 лет перечисляло в банк ежегодно 40000 руб., на которые кредитное учреждение начисляло проценты исходя из расчета 10% годовых (проценты присоединяются дважды в год). Взносы осуществляются каждое полугодие. Определите объем фонда к моменту окончания всех взносов.

3. В течение 4 лет ожидается поступление от реализации проекта в размере 1300000 руб. ежеквартально. Единовременное вложение в проект в начале года 8000000 руб. Оцените соотношение доходов и расходов исходя из ставки сравнения 10% годовых.

4. В течение 7 периодов по ценным бумагам выплачиваются дивиденды 100 руб. каждый период. Приведите величину всех будущих поступлений на начало первого периода исходя из 2% за период.

Тема 4.

Планирование погашения задолженности

Основные понятия

Обозначения, используемые для планирования погашения задолженности:

D – первоначальная сумма задолженности;

q – ставка процентов за кредит;

m_q – число раз начисления процентов по кредиту в течении года;

n – срок ссуды.

Исчисление суммы денежных средств, погашающих долг, если долг гасится единовременным платежом без создания погасительного фонда, решается по формуле:

FV = D

Амортизационный (погасительный) фонд – это целевой депозит, где постепенно накапливаются средства, достаточные для единовременного погашения долга.

Обозначения, используемые для планирования погашения задолженности с формированием погасительного фонда:

p – число взносов в погасительный фонд в год;

N – число лет создания погасительного фонда (срок);

j – ставка банка;

m_j – число раз в год капитализации процентов в банке;

γ – срочные уплаты (годовые расходы по обслуживанию долга);

%% - годовая сумма процентов по долгу;

R – взносы в погасительный фонд.

γ = %% + R

План погашения задолженности при равных срочных выплатах:

- определяется размер срочных уплат:

γ = PVA: ;

- рассчитывается годовая сумма процентов по долгу:

%% = D[ ];

- определяется размер взносов в погасительный фонд:

R = γ – %%.

План погашения задолженности равными частями:

- определяется ежегодная сумма погашения долга путем деления суммы кредита на количество лет, на которые он выдан;

- определяются расходы по обслуживанию долга:

γ_t = D_t q + D/n,

где D_t – остаток долга на начало года;

t – порядковый номер года (периода);

D – первоначальная сумма кредита;

n – срок кредита.

- рассчитывается расход за первый год:

%% = D q,

γ₁ = D₁ q + D/n.

Примеры

Пример 4.1. Ссуда размером 250 денежных единиц предоставлена на 3 года под 7 % годовых. Процент начисляется и присоединяется 2 раза в год. Составьте план погашения задолженности равными срочными уплатами.

Решение:

Очевидно, 250 д.е. следует трактовать как сумму современных величин, равных срочным уплатам γ:

γ = PVA: = 250: = 95,48 д. е.;

Сумма первой годовой уплаты процентов:

%% = D[ ] = 250[ ] = 17,81 д. е.;

Сумма первого платежа в счет погашения долга:

R = γ – %% = 95,48 – 17,81 = 77,67.

Результаты оформим в виде таблицы:

Год	Остаток на начало года	Погашение долга	Проценты	Срочные выплаты
1.	250,00	77,67	17,81	95,48
2.	172,33	83,21	12,27	95,48
3.	89,12	89,12	6,35	95,48

Σ = 250

Пример 4.2. Пусть кредит 250 д. е. выдан на 5 лет под 10% годовых. Долг погашается равными частями, проценты начисляются на оставшуюся сумму долга один раз в год и выплачиваются вместе с выплатой основного долга. Составьте план погашения долга.

Решение:

По условию примера:

1) ежегодная сумма погашения долга равна: 250:5 = 50 д. е.;

2) срочные (ежегодные) расходы по обслуживанию долга меняются от года к году (γ_t):

γ_t = D_t q + D/n,

где D_t – остаток долга на начало года;

t – порядковый номер года (периода);

D – первоначальная сумма кредита;

n – срок кредита.

3) Расходы на первый год:

сумма процентов за первый год: %% = D q = 250 0,1 = 25 д. е.;

γ₁ = 25 д. е. + 50 д. е. и т. д.

Решение представим в виде таблицы:

Месяцы	Остаток на начало года	Погашение долга	Проценты	Срочные выплаты

Σ = 250

Пример 4.3. Ссуда размером 1000 денежных единиц предоставлена на 3 года под 20% годовых с начислением и присоединением процентов к основной сумме долга и выплатой их вместе с ней. Сразу же после получения ссуды в банке начинают создавать в течении 3 лет погасительный фонд, куда ежегодно в конце периода перечисляют равные суммы. Проценты по счету начисляют 1 раз в год исходя из 30% годовых. Определите годовые расходы по обслуживанию долга.

Решение:

Определим размер суммы, которую необходимо будет выплатить:

FV = PV(1+i)ⁿ = 1000(1+0,2)³ = 1728.

Определяем годовые расходы по обслуживанию долга:

PMT = FVA = 1728 = 433,082.

Тема 5.