Сложные проценты

Основные понятия

Сложные проценты – проценты, база для определения которых постоянно меняется за счет присоединения (снятия) начисленных раннее процентов.

Начисление процентов на проценты – расчеты по правилу сложных процентов.

Реинвестирование (капитализация) процентов – процедура систематического присоединения процентов к сумме денег, относительно которой они определялись.

Наращение по сложной ставке – процесс увеличения капитала за счет присоединения процентов. Так же в финансовой математике называют процедуры начисления суммы денег с начисленными процентами.

Если расчет осуществляется по декурсивной ставке i, то используют следующую формулу:

FV = PV(1+i)ⁿ,

где (1+i)ⁿ – коэффициент наращения, или множитель наращения.

Пример 2.1. Ссуда 2 млн. руб. выдана под сложные проценты на 3 года. Проценты (10 % годовых) начисляются ежегодно и присоединяются к основной сумме долга. определить сумму задолженности к погашению.

Дано:

PV = 2 млн. руб.

i = 10% годовых

n = 3 года

Определить:

FV =?

Решение:

FV = PV(1+i)ⁿ = 2(1+0,1)³ = 2,662 млн. руб.

Если проценты начисляются и присоединяются не по истечении года, а чаще (m раз в год), то говорят, что имеет место m-кратное начисление процентов. При этом годовую базовую ставку обозначают j и называют номинальной в отличие от эффективной ставки i, которая характеризует полный эффект (доходность) операции с учетом внутригодовой капитализации.

Поэтому:

(1+i)ⁿ = (1+j/m)^m*n;

i = (1+j/m)^m – 1;

j/m = (1+i)^1/m – 1.

При внутригодовой капитализации наращенная сумма определяется по формулам:

FV = PV*(1+j/m)^m*n;

FV = PV*(1+j/m)^m*t/y.

При разработке инвестиционных решений в проектном анализе принимают иногда, что m = ∞, т. е. осуществляется непрерывное начисление процентов по истечении малых промежутков времени. Ставку за этот малый промежуток времени называют силой роста, а наращенную стоимость исчисляют так:

FV = PV * e ^i*n,

где e ^i*n – математическая экспоненциальная постоянная.

Пример 2.2. По вкладу А проценты начисляются один раз в год исходя из 120% годовых. По вкладу Б обслуживание осуществляется по полугодиям исходя из 100% в год. Сравнить доходность размещения средств.

Дано:

А: j = 120 %

m = 1

Б: j = 100 %

m = 2

j: m = 50 % (ставка за период)

Решение:

i = (1+j/m)^m-1;

А) i = (1+1.2/1)¹-1 = 1.2 (120%)

Б) i = (1+1/2)²-1 = 1.25 (125%)

Вклад Б – выгоднее, т.к. i_Б > i_А.

Пример 2.3. Пусть во вклад с капитализацией процентов помещены 10 тыс. руб. Определить наращенную сумму вклада через 2 года, если проценты начисляются ежеквартально из расчета 80 % годовых.

Дано:

PV = 10 тыс. руб.

j = 80% годовых

n = 2 года

m = 4 (т. е. 4 раза в год

(ежеквартально)

начисляются проценты)

Определить:

FV =?

Решение:

FV = PV(1+j/m)^mn = 10 тыс.(1+0,8/4)^4*2 = 42,99817 тыс. руб.

Пример 2.4. По дебетовой магнитной карте ежеквартально начисляются и присоединяются проценты исходы из 9% годовых. Определите какой суммой будет располагать владелец карточки через 7 месяцев, если она сформирована на 500$.

Дано:

PV = 500 долл. США

j = 9% годовых

m = 4

t = 7 мес.

Y = 12 мес.

Определить:

FV =?

Решение:

FV = PV(1+j/m)^m*t/y = 500(1+0,09/4)^4*7/12 = 500(1+0,09/4)² = 522, 75 $

В данном примере проценты начисляются только за полный процентный период, поэтому 1/3 из степени следует отбросить (т. е. за 7 месяцев минуло 2 полных процентных периода – 2 квартала).

Определение FV по PV называется прямым счетом. Обратный расчет, учет «на сто», дает значение современной стоимости денег. Формула математического учета по сложной процентной ставке имеет вид:

PV = FV/ (1+i)ⁿ.

Величина (1+i) ^-n называется дисконтирующим или учетным множителем.

При неоднократном учете дисконтных ценных бумаг (учете и переучете) на одинаковых условиях дисконтирование по сложной ставке d выглядит так:

PV = FV (1-d)ⁿ,

где d – учетная ставка;

n – срок до конца финансовой операции, равный числу раз учета.

Пример 2.5. Определить текущую стоимость денег, будущая величина которых через 10 периодов оценивается в 2000 д.е. Ставка дисконтирования – 3% за период.

Дано:

FV = 2000 д.е.

i = 3% за период

n = 10 процентных периодов

Определить:

PV =?

Решение:

PV = д. е.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Ссуда предоставлена на 4 года под 60% годовых. Процент начисляется ежегодно и присоединяется к основной сумме долга. Во сколько раз дешевле обойдется ссуда, полученная под простые проценты.

2. Средства размером 2000 руб. помещены во вклад, по которому проценты начисляются ежеквартально из расчета 16% годовых и присоединяется к основной сумме долга. Определите наращенную сумму вклада, если срок хранения 9 месяцев.

3. Банк предлагает следующие варианты помещения денежных средств:

во вклад А под 40% годовых;

во вклад Б под 30% годовых с начислением и присоединением процентов каждое полугодие;

во вклад В под 20% годовых с ежеквартальным начислением и присоединением процентов.

Определить какой вклад самый выгодный.

4. Ставка по кредиту 50% годовых. Определите размер полученной на 4 месяца ссуды, если подлежит вернуть 310000 руб. Проценты начисляются присоединяются к основной сумме долга.

5. Будущая стоимость денег через 10 периодов 20 денежных единиц. Исчислите текущую стоимость, если ставка дисконтирования 1% за период. Начисляются сложные проценты, производится дисконтирование «на сто».

Тема 3.