Приклад побудови інтервального варіаційного ряду та розрахунку статистичних характеристик

За результатами аналізу 15% вугілля, відібраного безповторним відбором, отримані наступні результати щодо зольності вугілля(%): 18,16,18,21,19,17,18,21,14,18,16,12,19,23,17,18,15,20,19,17,21,16,20,13, 19,14,20,15,18,20,17,19,16,18,13,15,17,24,16,14.

Необхідно побудувати інтервальний варіаційний ряд, поділивши дані на шість рівних інтервалів.

Визначити показники центру розподілу (середнє значення зольності, структурні середні: моду та медіану аналітично і графічно). Розрахувати показники варіації (середнє лінійне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, лінійний та квадратичний коефіцієнти варіації).

Обчислити коефіцієнт асиметрії.

Зобразити інтервальний ряд графічно у вигляді гістограми, також побудувати кумуляту розподілу проб вугілля за зольністю.

З імовірністю 0,954 визначити межі, в яких знаходиться середнє значення зольності вугілля у генеральній сукупності.

За отриманими результатами зробити висновки.

3.1. Побудова інтервального варіаційного ряду:

- розмістимо вихідні дані (номер проби і зольність вугілля) у два стовпчики;

- скопіюємо стовпчик зольності і зранжуємо показники за зростанням за допомогою послідовності команд ДАННЫЕ СОРТИРОВКА (сортувати за зростанням). Результати заносимо до табл. 2.3;

Таблиця 2.3

Зольність вугілля

№	Зольність,
проби	%
1	2	3

- визначаємо найменше і найбільше значення зольності вугілля х_min = 12%, х_max = 24%;

- розраховуємо розмах варіації

R = х_max - х_min = 24 – 12 = 12%;

- визначаємо ширину інтервалу

h = R: n = 12: 6 = 2%;

- визначаємо границі інтервалів і заносимо їх у таблицю 2.4 (стовпці 2 і 3);

- формуємо самі інтервали і заносимо їх у таблицю 2.4 (стовпець 4);

- визначаємо частоту кожного інтервалу, для чого:

= встановлюємо на ранжируваний ряд користувальницький автофільтр, виконавши послідовність команд ДАННЫЕ ФИЛЬТР Автофильтр;

= розкриємо список автофільтра та встановимо умови фільтрації відповідно до границь інтер-валів («больше или равно 12» та «меньше 14»; «больше или равно 14» та «меньше 16»; і т.д.);

= визначаємо кількість ознак у відповідному інтервалі за допомогою вбудованої функції СЧЕТ(…) (категорія «Статистичні» майстра функцій) і заносимо в табл. 2.4 (стовпець 5);

або

= визначаємо закриті верхні границі інтервалів як останні включені в інтервал значення ознаки, тобто за умови «меньше или равно», це буде 13,15,17,19,21,24%;

= для виведення частот активуємо кількість комірок таку, як і кількість інтервалів у стовпці 5 таблиці 2.4;

= викликаємо появу діалогового вікна вбудованої функції ЧАСТОТА (категорія «Статистичні» майстра функцій), у полі «Массив данных» вводимо діапазон неранжованих значень зольності вугілля (табл. 2.3, стовпець 2), у полі «Массив интервалов» - діапазон закритих верхніх меж інтервалів, крім останнього;

= виводимо частоти як формулу масиву, натискаючи F2, а потім одночасно Ctrl+Shift+Enter;

- визначаємо кумулятивні частоти шляхом послідовного підсумовування частот і заносимо їх у табл. 2.4 (стовпець 6).

- визначаємо середини інтервалів як напівсуми нижньої і верхньої границь відповідних інтервалів (показники стовпчиків 2 і 3 табл.4) за допомогою вбудованої функції СРЗНАЧ(…) (категорія «Статистичні» майстра функцій) і заносимо їх у табл. 2.4 (стовпець 7);

Таблиця 2.4

Розрахункова таблиця

№ інтер-валу	Границя інтервалу	Обсяг товарної продукції (границі інтервалів)	Кіль-кість ознак (час-тота) f	Кумулятивні частоти Sf	Сере-дина інтервалу хс	хсf
Нижня xн	Верхня хв
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
I			12 - 14					-5
II			14 - 16					-3
III			16 - 18					-1
IV			18 - 20
V			20 - 22
VI			22 - 24
Разом	-	-			-	-		-

3.2. Розраховуємо показники центру розподілу:

а) середню зольність вугілля як середню зважену арифметичну, попередньо знайшовши добутки значень середин інтервалів зольності (стовпець 7) і частот (стовпець 5) за допомогою вбудованої функції ПРОИЗВЕД, які заносяться у таблицю 2.4 (стовпець 7) та знайшовши їх суму за допомогою вбудованої функції СУММ або СУММПРОИЗВ

%

б)структурні середні:

- моду аналітично за побудованим інтервальним варіаційним рядом %;

- медіану аналітично за побудованим інтервальним варіаційним рядом %;

3.3. Розраховуємо показники варіації:

- заповнюємо стовпці 9-11 таблиці 2.4;

- розраховуємо:

= середнє лінійне відхилення %;

= дисперсію ;

= середнє квадратичне відхилення = 2,57 %;

= лінійний коефіцієнт варіації %.

= квадратичний коефіцієнт варіації %.

3.4. Оцінюємо ступінь асиметричності розподілу, для чого розраховуємо: = коефіцієнт асиметрії

Так як A_s <0, то асиметрія лівостороння, так як | A_s |<0,25, то асиметрія слабка

3.5. Будуємо гістограму на основі стовпців 4 і 5 таблиці 2.4 і визначаємо графічно моду (рис. 2.1);

.

Рисунок 2.1. Гістограма розподілу вугілля за зольністю

3.6. Будуємо кумулятивну гістограму розподілу вугілля за зольністю на основі стовпців 4 і 6 таблиці 4 і визначаємо графічно медіану (рис. 2);

Рисунок 2.2. Кумулята розподілу вугілля за зольністю

3.7. Визначимо з імовірністю 0,954 межі, в яких знаходиться середнє значення зольності вугілля у генеральній сукупності

- розраховуємо граничну похибку для середнього значення ознаки з урахуванням того, що для імовірності 0,954 довірче число складає t=2

- визначаємо межі середньої зольності вугілля у генеральній сукупності

-

Висновки: середня зольність вугілля за вибірковими даними складає 18%; найбільш характерна зольність вугілля становить 18,57%, при цьому половина вугілля має зольність більшу 18,17%, а половина – меншу цього значення. У середньому зольність вугілля відхиляється від її середнього значення за данними лінійного відхилення на 2,15% і за даними квадратичного – на 2,57%. Значення лінійного коефіцієнта варіації 11,94%, квадратичного - 14,27%, що менше ніж 33%, тому вибірку можна вважати досить однорідною. Розподіл характеризується слабкою лівосторонньою асиметрією. З імовірністю 0,954 можна стверджувати, що середня зольність вугілля в генеральній сукупності знаходиться в межах 17,25 – 18,75%.