Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия

Оценки параметров генеральной совокупности, полученные на основании выборки, называются статистическими. Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется точечной. К числу таких оценок относятся выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений:

,

где варианта выборки;

частота варианты;

объем выборки.

Выборочную среднюю можно записать и так:

,

где частость.

Выборочная средняя может обозначаться и без нижнего индекса: .

Отметим, что в случае интервального статистического ряда в качестве варианты берут середины интервалов ряда, а в качестве - частоты соответствующих интервалов.

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней :

,

или, что то же самое,

.

Для расчетов может быть использована также формула:

,

где - выборочная средняя квадратов вариант выборки.

Выборочное среднее квадратическое отклонение выборки определяется формулой:

.

Особенность выборочного среднего квадратического отклонения состоит в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и изучаемый признак.

Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Если математическое ожидание статистической оценки равно оцениваемому параметру генеральной совокупности, то такая оценка называется несмещенной, если не равно – то смещенной.

Выборочная средняя является оценкой математического ожидания случайной величины и представляет собой несмещенную оценку. Выборочная дисперсия оценивает дисперсию генеральной совокупности и является смещенной оценкой.

Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее умножают на и получают величину:

,

которая называется несмещенной или исправленной выборочной дисперсией.

Величина

называется исправленным выборочным средним квадратическим отклонением.

Пример 8. Имеются данные о выручке в продовольственном магазине «Оазис» соответственно по месяцам (млн. руб.):

Месяц
Выручка	2,2	2,5	2,3	2,2	2,3	2,5	2,2	2,2	2,4	2,3	2,4	2,2

Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

Решение.

Построим сначала статистический ряд распределения:

Выручка,	2,2	2,3	2,4	2,5
Частота,

Находим выборочную среднюю:

.

Для вычисления выборочной дисперсии используем формулу . Чтобы воспользоваться данной формулой найдем сначала :

,

тогда 0,039.

В качестве описательных характеристик вариационного ряда , , …, (или полученного из него статистического распределения выборки) используется медиана, мода, размах вариации (выборки).

Размахом вариации называется число:

,

где - наибольшая, - наименьшая варианты ряда.

Модой вариационного ряда называется варианта, имеющая наибольшую частоту.

Медианой вариационного ряда называется значение признака (варианта), приходящееся на середину ряда.

Если (то есть ряд , , …, , , , …, имеет четное число членов), то . Если (то есть ряд имеет нечетное число членов), то .

Пример 9. В результате тестирования (см. пример 2) группа абитуриентов набрала баллы: 5, 3, 0, 1, 4, 2, 5, 4, 1, 5. Найти характеристики выборки.

Решение.

Статистическое распределение выборки (так называемый дискретный статистический ряд) имеет вид:

Тогда:

,

, ,

, ,

= 5, так как 5 наиболее часто встречающаяся варианта,

.

Для непрерывно распределенного признака формулы для вычисления моды и медианы имеют вид:

,

где начало модального интервального интервала, то есть интервала, имеющего наибольшую частоту,

частота модального интервального,

частота интервала, предшествующего модальному,

частота интервала, следующего за модальным,

интервал группировки;

,

где начало медианного интервала, то есть интервала содержащего серединные значения вариационного ряда,

накопленная частота интервала, предшествующего модальному.