Раздел 3. Корреляционно - регрессионный анализ связи между результа-тивным показателем и факторным

Найти уравнение регрессии – значит по эмпирическим (фактическим) данным математически описать изменения взаимно коррелирующих величин.

Уравнение регрессии должно определить, каким будет среднее значение результативного признака y при том или ином значении факторного признака x, если остальные факторы, влияющие на y и не связанные с x, не учитывать, т.е. абстрагироваться от них.

Корреляционный и регрессионный анализытесно связаны между собой. Если корреляционный анализ исследует тесноту (силу) связи, то регрессионный анализ является его логическим продолжением и исследует форму, вид и параметры выявленной связи.

Для аналитической связи между x и y могут использоваться следующие простые виды уравнений.

При линейной форме связи (уравнение прямой) уравнение регрессии имеет вид: (4)

где -теоретический уровень результативного признака (читается как «игрек, выравненный по х»);

x – факторный признак, фактический уровень факторного признака;

а, b – параметры уравнения, которые необходимо определить.

Линейная зависимость - наиболее часто используемая форма связи между двумя коррелирующими признаками, и выражается она при парной корреляции уравнением прямой (4).

Гипотеза о линейной зависимости между х и у выдвигается в том случае, если значения результативного и факторного признаков возрастают (убывают) одинаково, примерно в арифметической прогрессии.

Параметры а и b отыскиваются по МНК (методу наименьших квадратов) в системе нормальных уравнений МНК для линейной регрессии:

na + b∑x = ∑у,

a ∑x + b∑x² = ∑ух. (5)

Для решения системы (5) по эмпирическим данным определяем число единиц наблюдения n, сумму значений факторного признака ∑ x, сумму их квадратов ∑ x ², а также сумму значений результативного признака ∑ у и сумму произведений ∑ ух.

Подставив все эти суммы в систему нормальных уравнений, найдем параметры искомой прямой (линейного уравнения регрессии).

При этом указанные суммы можно определить двумя способами:

- по данным о значениях х и у каждой единицы совокупности (по списку);

- по сгруппированным данным, представленным в виде корреляционной или иной таблицы.

По данным корреляционной таблицы необходимо рассчитать линейный коэффициент корреляции по формуле

где σ_х и σ_у – соответственно среднее квадратическое отклонение в ряду х и в ряду у.

r < 0,3 – малая зависимость;

0,3 < r < 0,6 - средняя зависимость;

0,6 < r < 0,8 - зависимость выше средней;

r > 0,8 – большая, сильная зависимость.

Эмпирическая линия регрессии, отражающая на графике зависимость между х и у, не всегда дает основание для выдвижения гипотезы о линейной зависимости. Характер ломаной линии может быть различным.