П. 5. Точечные оценки и их свойства

Пусть закон распределения случайной величины Х содержит неизвестный параметр а. Требуется на основании опытных данных найти подходящую оценку этого параметра, т.е. найти его приближенное значение.

Пусть х ₁, х ₂,…, х_n – наблюдаемые значения Х в результате n независимых опытов. Тогда, если оценка параметра а, то она является функцией величин х ₁, х ₂,…, х_n: .

Определение 21. Точечной оценкой неизвестного параметра а называют приближенное значение этого параметра, полученное при выборке. Оценки называются точечными, так как они указывают точку на числовой оси, в которой должно находиться значение неизвестного параметра.

Определение 22. Любую функцию элементов выборки называют статистикой.

Для того, чтобы имела практическую ценность, она должна обладать определенными свойствами. Чтобы выяснить, какие свойства должна иметь статистика для того, чтобы ее значения могли бы считаться хорошей в некотором смысле оценкой параметра а, ее рассматривают как функцию случайного вектора (Х ₁, Х ₂,…, Х_n), одной из реализаций которого является данная выборка х ₁, х ₂,…, х_n. Распределение статистики также зависит от параметра а. случайная величина, закон распределения которой зависит от закона распределения Х и от числа опытов n. Итак, статистика должна обладать следующими свойствами: