Аналитическое выравнивание

Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами.

1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

2. Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3, 5, 7 и т.д. точек) или четным (2, 4, 6 и т.д. точек).

При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала, при четном этого делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50 %.

Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной.

3. Аналитическое выравнивание. Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели

где f(t) – уровень, определяемый тенденцией развития;

e_t – случайное и циклическое отклонение от тенденции.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени , называемой адекватной формулой ряда динамики или аналитическое выражение тренда.

Адекватная формула развития может быть представлена прямолинейной зависимостью для выражения равномерного роста (снижения) и криволинейными зависимостями типа гиперболы, параболы, степенной функции для выражения замедленного или ускоренного роста (снижения).

Проблема аналитического выравнивания сводится к определению параметров адекватной формулы развития аналогично методике определения параметров уравнения регрессии (см. п.1.8), с применением упрощенного расчета на основе переноса начала координат в середину ряда динамики, получая, таким образом, .

В этом случае система нормальных уравнений для нахождения параметров прямой будет иметь вид

; ;

;

для параболы 2^го порядка

.

Нумерация последовательности периодов времени при нечетном числе уровней 1, 2, 3, …, n после переноса начала координат t будет …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … при четном числе уровней … -5, -3, -1, 1, 3, 5 …

Статистическое прогнозирование динамики социально-экономических явлений основывается на предположении, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохраняется и в прошлом, и в будущем, т.е. прогноз основан на экстраполяции.

Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной; в прошлое – ретроспективной.

Методы экстраполяции включают в себя: метод среднего абсолютного прироста, метод среднего темпа роста, метод использования адекватной формулы развития.

Прогнозирование по среднему абсолютному приросту может быть выполнено в том случае, если тенденция может быть представлена равномерным ростом (снижением).

.

Прогнозирование по среднему темпу роста можно осуществлять в случае, когда есть основание считать, что общая тенденция ряда характеризуется показательной (экспотенциальной) кривой.

,

где t – срок прогноза.

Наиболее распространенным методом прогнозирования является аналитическое выражение тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значения независимой переменной времени (t), используя адекватную формулу ряда динамики.

Для оценки адекватности аналитического выражения тренда может использоваться показатель средней ошибки аппроксимации ()

,

где - линейные отклонения абсолютных величин эмпирических и выровненных точек регрессии. Если ≤ 10 %, то вероятность прогноза велика.

При анализе рядов динамики иногда приходится прибегать к определению некоторых неизвестных уровней внутри данного ряда динамики, то есть к интерполяции.

Интерполяция основана на тех же методах, что и экстраполяция.

При исследовании месячных данных многих явлений могут иметь место определенные повторяющиеся колебания, которые существенно не изменяются за длительный период времени. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также прочих факторов, которые могут быть регулируемыми.

В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период внутри годового промежутка, называются сезонными колебаниями или сезонными волнами.

Сезонные колебания характеризуются показателями, называемыми индексами сезонности (У_с).

Индексом сезонности называют процентное отношение среднемесячного (за три года) уровня к среднегодовому уровню

;

степень сезонности оценивают на основании среднеквадратического отклонения индексов сезонности от 100 %

.

Во многих рядах динамики может наблюдаться определенная зависимость уровней последующих периодов от предшествующих им.

Зависимость между последовательными уровнями ряда динамики называется автокорреляцией.

Автокорреляцию оценивают при помощи коэффициента автокорреляции (r_a)

.

Для расчета коэффициента автокорреляции параллельно с исходными уровнями ряда (у_t) записывают уровни, сдвинутые на один период, т.е. (или ), при этом чтобы сдвинутый ряд не укорачивался, его можно условно дополнить, принимая .

Исходный ряд динамики: … .

Сдвинутый ряд динамики: … .

Коэффициент автокорреляции может рассчитываться не только между соседними уровнями (сдвинутыми на один период), но и сдвинутыми на любое число единиц времени. Этот сдвиг именуется временным лагом.

Для рядов динамики, у которых установлено наличие автокорреляции (), каждый уровень () может рассматриваться как функция предыдущих значений уровней.

Уравнение, выражающее эту зависимость, называется уравнением авторегрессии. Уравнение авторегрессии, связывающее исходные уровни ряда с теми же уровнями, сдвинутыми на определенный лаг(m), т.е. , находится по общим правилам регрессионного анализа