Вариация в системе статистических показателей

В общем случае каждый объект статистического наблюдения обладает не одной, а несколькими статистическими характеристиками, отражаемыми конкретными статистическими показателями.

Типичными примерами проявления этого факта является статистическая отчетность предприятия, состав актива баланса, данные анкетного опроса и т.д.

Можно отметить, что каждый статистический показатель обладает как собственной, присущей только ему вариацией, так и вариацией, объясняемой связью данного показателя с прочими.

Степень совпадения отклонения от среднего уровня одного статистического показателя с одновременным отклонением от среднего значения другого показателя в статистике оценивается так называемым моментом ковариации (ковариационным моментом, показателем ковариации).

Ковариация (от англ. covariation - "совместная вариация") - мера линейной зависимости двух величин. Это термин экономической статистики. Ковариацией называется взаимозависимое совместное изменение двух и более признаков экономического процесса.

Ковариация несет тот же смысл, что и коэффициент корреляции: она показывает, есть ли линейная взаимосвязь между двумя случайными величинами, и может рассматриваться как "двумерная дисперсия". Однако, в отличие от коэффициента корреляции, который меняется от -1 до 1, ковариация не инвариантна относительно масштаба, т.е. зависит от единиц измерения и масштаба случайных величин.

Знак ковариации указывает на вид линейной связи между рассматриваемыми величинами: если она > 0 - это означает прямую связь (при росте одной величины растет и другая), ковариация < 0 указывает на обратную связь. При ковариации = 0 линейная связь между переменными отсутствует.

Ковариация - сопряженная вариативность изучаемых признаков. Это выражается в том, что отклонения от средних значений по обоим признакам идут в какой-то степени сопряженно, параллельно. При этом они могут идти или в одном направлении (с увеличением/уменьшением одного признака другой также увеличивается/уменьшается) или в разных (с увеличением одного другой уменьшается). В первом случае говорят о положительной ковариации, во втором - об отрицательной. Понятие ковариации созвучно с термином корреляция.

У термина корреляция (от позднелат. correlatio – «соотношение») существует несколько толкований:

1) взаимная связь, взаимозависимость, соотношение предметов или понятий;

2) статистическая мера связи, равная ковариации стандартизованных переменных;

3) в математической статистике - вероятностная или статистическая зависимость.

В отличие от функциональной зависимости корреляция возникает тогда, когда зависимость одного из признаков от другого осложняется наличием ряда случайных факторов.

В статистике важно проведение ковариационного анализа. Его суть заключается в следующем. При проверке различий в средних значениях зависимой переменной, связанных с влиянием контролируемых независимых переменных, часто необходимо учитывать неконтролируемые независимые переменные. При определении намерений потребителей относительно приобретения товара известной фирмы в зависимости от цены необходимо учесть отношение к торговой марке.

Для того, чтобы определить, как различные группы под влиянием рекламы оценивают торговую марку, необходимо проконтролировать, какой информацией априорно обладают члены этих групп. При определении влияния различных цен на потребление в семьях сухих завтраков может оказаться существенным такой фактор, как размер семьи.

В приведенных ситуациях следует использовать дисперсионный анализ, который включает по крайней мере одну категориальную независимую переменную и одну интервальную или метрическую независимую переменную.

Практически ковариация - это статистическая мера взаимодействия двух случайных переменных, то есть это мера того, насколько две случайные переменные, такие, например, как доходности двух ценных бумаг x и у зависят друг от друга.

Для того, чтобы найти дисперсию σ² и стандартное отклонение σ доходности портфеля акций, состоящего на 60% из акций А и на 40% из акций В, надо знать значения ковариации акций А и В. Ковариация служит для измерения степени совместной изменчивости двух акций.

Общая формула вычисления ковариации

σ₁₂ = E (R_A - r_A)(R_B - r_B)

Из формулы видно, что ковариация любой акции с ней самой σ₁₁ равна ее дисперсии σ₁², предполагая, что доходность по каждой из акций А и В - это случайные величины R _A и R_B.

Среднее значение доходности акции А равно 10%, со стандартным отклонением 8,66%. Среднее значение доходности акции В равно 15%, со стандартным отклонением 12%.

Определим среднее значение доходности портфеля и стандартное отклонение для данного портфеля акций. Вопрос средней доходности портфеля решается просто. А вот стандартное отклонение - показатель уровня изменчивости доходности портфеля - не отражает средней изменчивости доходности его компонентов (акций).

Причина в том, что диверсификация снижает изменчивость, так как цены различных акций изменяются неодинаково. Во многих случаях снижение стоимости одной акции компенсируется ростом цены на другую. Ожидаемая доходность нашего портфеля равна средневзвешенной ожидаемых значений доходностей отдельных акций

r = 0,6* r_A + 0,4* r_B,

r = 0,6*10% + 0,4*15% = 12%.

Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной из ценных бумаг должна, вероятно, повлечь за собой лучшую, чем ожидаемая, доходность другой ценной бумаги.

Отрицательная ковариация показывает, что доходности имеют тенденцию компенсировать друг друга, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной ценной бумаги сопровождается, как правило, худшей, чем ожидаемая, доходностью другой ценной бумаги.

Относительно небольшое или нулевое значение ковариации показывает, что связь между доходностью этих ценных бумаг слаба либо отсутствует вообще.

Очень близкой к ковариации является статистическая мера, известная как корреляция, следовательно, ковариация двух случайных переменных равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

,

где r_ij обозначает коэффициент корреляции ( от англ. correlation coefficient) между доходностью на ценную бумагу i и доходностью на ценную бумагу j.

Коэффициент корреляции нормирует ковариацию для облегчения сравнения с другими парами случайных переменных. Коэффициент корреляции всегда лежит в интервале между -1 и +1.

Если он равен -1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если +1 - полную положительную корреляцию. В большинстве случаев он находится между этими двумя экстремальными значениями.

Известны успехи предельной спектральной теории выборочных ковариационных матриц, которая составляет базу для развития улучшенных невырождающихся методов многомерного статистического анализа.

Если рассматривается система из m статистических показателей Х_1, Х₂,..., Х_m, то ковариация для любой пары признаков Х_i, Х_j оценивается как среднее значение произведений соответствующих отклонений от среднего уровня:

, i,j = 1,…, m (32)

Ковариация признака Х_i с тем же признаком Х_i равна, естественно, дисперсии этого признака.

Совокупность всех ковариаций представляют в форме таблицы – квадратной матрицы К (или ∑) моментов ковариации размерностью (m х m). Матрица ковариации симметрична, так как К_ij = К_ji.

На главной диагонали находятся дисперсии соответствующих признаков.

Поэтому в наглядном виде показывают обычно только верхнюю часть этой матрицы

.

Числовое значение момента ковариации по любой паре признаков зависит не только от согласованности отклонений от соответствующих средних уровней, но и от вариации каждого признака в отдельности – его типа, единицы и масштаба измерения.

Даже при заметном совпадении вариации, но небольшом числовом значении какого-либо одного из пары признаков их ковариационный момент может выражаться небольшим числом. К этому же добавляется неудобство разных единиц измерения ковариационных моментов в матрице ковариации.

Чтобы показать только степень взаимной зависимости любой пары признаков из системы, эти признаки выражают в относительной форме переходом от непосредственно наблюдаемых уровней к их стандартизованному представлению (когда среднее значение каждого признака становится равным нулю, а дисперсия равна единице).

Стандартизованные коэффициенты ковариации называются коэффициентами корреляции и записываются в форме матрицы коэффициентов корреляции. Эта матрица также квадратная размерностью m х m и симметричная. На главной диагонали находятся единицы.

В общем случае матрица корреляции R определяется операцией умножения матриц

R = (Z^TZ) / n,

где Z – стандартизованные первичные данные об уровнях каждого признака, записанные в форме матрицы размерностью n строк (наблюдений, объектов) и m столбцов (признаков Х_j).

Если первичные уровни всех m признаков стандартизованы, то считают, что общая дисперсия всей системы (Z₁, Z₂, …..Z _m) также равна m.

РЕЗЮМЕ

При изучении явлений и процессов общественной жизни статистика встречается с разнообразной вариацией, т.е. изменчивостью признаков, характеризующих отдельные единицы совокупности. Величины признаков изменяются под действием различных факторов. Чем разнообразнее условия, влияющие на размер данного признака, тем больше его вариация.

При характеристике колеблемости признака применяют систему абсолютных и относительных показателей. К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. К относительным показателям вариации относятся коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, простой коэффициент вариации.

На вариацию признака влияют различные причины, факторы. Они делятся на случайные и постоянные (систематические). Поэтому вариация может быть случайной (вызванной действием случайных причин) и систематической (обусловленной воздействием постоянных факторов). В связи с этим возникает необходимость в определении случайной и систематической вариаций, их роли в общей вариации и влияния на неё.

Общая дисперсия характеризует общую вариацию признака под влиянием всех условий, всех причин, вызывающих эту вариацию. Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) характеризует систематическую вариацию, которая возникает под влиянием фактора, признака, положенного в основание группировки. Для определения влияния случайных факторов и их роли в общей вариации определяют дисперсию в пределах каждой группы, т.е. внутригрупповую дисперсию, а затем среднюю из внутригрупповых дисперсий.

На величину частных, внутригрупповых дисперсий не влияет групповой признак. Поэтому, чтобы получить представление об общей вариации признака под влиянием случайных причин, следует рассчитать среднюю из внутригрупповых или частных дисперсий. В математической статистике доказано, что общая дисперсия признака равна средней из внутригрупповых и дисперсии групповых средних. Это правило называется правилом сложения дисперсий. Пользуясь этим правилом, можно по двум дисперсиям определить третью.

Между показателями вариации существуют соотношения, позволяющие судить о близости изучаемого распределения к нормальному, контролировать результаты вычислений, а также вычислять по уже имеющимся показателям вариации неизвестные.

Эти соотношения зависят от того, какому типу распределения вероятностей подчиняется совокупность исходных данных признака Х.

Соотношения между показателями вариации особенно полезно учитывать на начальных стадиях анализа при проверке исходных данных, быстрой числовой оценке вариации, при выборе гипотезы о форме закона распределения и т.д.

Для обобщенной характеристики особенностей формы распределения применяются кривые распределения (эмпирические и теоретические), выражающие закономерность распределения единиц совокупности по величине варьирующего признака.

Кривые распределения бывают симметричными и асимметричными, с правосторонней и левосторонней асимметрией, одно-, двух- и многовершинные.

Одной из важных задач анализа рядов распределения является выявление закономерности распределения, определение ее характера и количественного выражения. Эта задача решается при помощи показателей моментов распределений, характеризующих форму, тип распределения.

Моментом распределения называется средняя арифметическая из отклонений значений признака Х от некоторой постоянной величины а в степени к. Порядок момента определяется величиной к.

Для характеристики степени асимметрии двух или нескольких рядов пользуются коэффициентом асимметрии.

Кривые распределения имеют различную «островершинность». Крутизна, «островершинность» кривой распределения называется эксцессом. Различают эксцессы: нормальный, выше нормального и ниже нормального.

Каждому ряду распределения свойственна определенная закономерность, выражением которой является кривая распределения, представляющая собой функцию распределения.

Если имеется эмпирический ряд распределения, то для анализа, как правило, находят функцию распределения, т. е. подбирают такую теоретическую кривую распределения, которая наиболее полно отражает закономерность распределения. Этот процесс называется моделированием.

Моделирование имеет большое познавательное значение. Функции кривой распределения дают в компактной форме характеристику изучаемой совокупности, ее закономерности, сглаживают различные «неправильности» эмпирического ряда, возникшие вследствие случайных обстоятельств, дают возможность находить частоты интервалов, которые не встречались в эмпирическом распределении.

Важно установить, являются ли разности между эмпирическими и теоретическими частотами результатом действия случайных причин или эта разница существенна и обусловлена неправильно подобранной функцией.

Для оценки близости эмпирического распределения к теоретическому нормальному используются специальные показатели, которые называются критериями согласия. Они разработаны Пирсоном, Колмогоровым, Ястремским и Романовским. Наиболее часто применяемым является критерий χ -квадрат Пирсона.

Критерий согласия Колмогорова λ рассматривает близость эмпирического и теоретического распределений путем сравнения их накопленных частот.

Каждый объект статистического наблюдения в общем случае обладает не одним, а несколькими статистическими характеристиками, отражаемыми конкретными статистическими показателями. При этом каждый показатель обладает как собственной вариацией, так и вариацией, объясняемой связью данного показателя с другими. Степень совпадения отклонения от среднего уровня одного статистического показателя с одновременным отклонением от среднего значения другого показателя в статистике оценивается ковариацией - мерой линейной зависимости двух величин.