И относительные показатели вариации

Условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, его социальные, экономические и прочие особенности развития выражаются конкретными числовыми уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т.е. одновременное несовпадение уровней одного и того же явления или признака у разных единиц совокупности, носит объективный характер и помогает познать сущность и причины этого явления.

В зависимости от применяемых характеристик колеблемости признака используют различные показатели: абсолютные и относительные. Структура показателей вариации приведена на рис.1.

Рис. 1. Система показателей вариации

Итак, для измерения вариации в зависимости от характеристики колеблемости признака применяют приведенную систему показателей.

К абсолютным показателям вариации относятся

1) размах вариации R = X_max - X_min;

2) среднее линейное отклонение d;

3) дисперсия σ²;

4) среднее квадратическое отклонение σ.

Значения этих показателей измеряются в тех же единицах, что и сам признак. Показатели дисперсии - в квадратах единиц.

К относительным показателям вариации относятся

1) коэффициент осцилляции К_осц;

2) линейный коэффициент вариации К_{лин.вар};

3) простой коэффициент вариации .

Значения этих показателей выражаются в процентах или долях.

Рассмотрим более подробно показатели вариации.

Размах вариации R. Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации R как разности максимального (Х_мах) и минимального (Х_min) значений признака:

R = Х_мах - Х_min. (1)

▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

	│►1. Например, в текущем году урожайность зерновых культур по области варьирует от минимального значения 11 ц/га по одному из районов до максимального значения 21 ц/га в другом районе. В этом случае размах вариации урожайности составит R = Хмах - Хmin = 21 – 11 = 10 ц/га. ◄

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

Величина R показывает, в каких пределах колеблется размер признака, образующего ряд распределения. Значения этого показателя выражаются в тех же единицах измерения, что и варианты ряда. Преимущество показателя размаха вариации – наглядность и простота расчета. Однако эта характеристика учитывает лишь крайние, а иногда и совершенно случайные значения признака. Это является существенным недостатком. Величина R определяется двумя крайними значениями признака, в то время как колеблемость ряда в целом определяют все значения его признаков. Ввиду этого размах вариации может в ряде случаев неправильно характеризовать колеблемость признаков.

Иногда по аналогии с показателем размаха вариации рассчитывают величину квартильного размаха (квартильного отклонения) как половину разности значений третьего и первого квартилей [10 ].

Для определения квартильных значений всю совокупность первичных данных упорядочивают по возрастанию, затем определяют W₁ – максимальное значение уровня показателя у первой четверти, т.е. 25% всех наблюдений, и W₃ – максимальное значение показателя у трех четвертей (75% общего числа наблюдений).

Величина квартильного отклонения W рассчитывается следующим образом:

W₃ - W₁

W =. (2)

▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

│►2. Так, при изучении денежных доходов населения можно выделить группу лиц с малыми доходами и часть населения с достаточно высоким уровнем дохода. Показатель общего размаха не позволяет судить о вариации доходов у основной массы населения. Но если обнаружилось, что денежные доходы у четверти населения не превышают 2456 руб. и для 75% населения доходы не превышают 6864 руб., то показатель квартильного отклонения будет равен (6864 – 2456) / 2 = 2204 руб. ◄

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

В связи с тем, что каждое индивидуальное значение признака отклоняется от средней на определённую величину, очевидно, что мерой вариации может служить средняя от отклонений каждой отдельной варианты от их средней. Таким образом, более полными оценками вариации являются общие характеристики отклонений от среднего уровня признака. Такими показателями являются среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Самый простой показатель такого типа – среднее линейное отклонение (или среднее абсолютное отклонение) d. Определяется как среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня.

Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле средней арифметической простой

(3)

или средней арифметической взвешенной

. (4)

▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

│►3. Так, если заработная плата 6 рабочих бригады составляла 5400 руб., 5600 руб., 5800 руб., 6400 руб., 6600 руб. и 6800 руб., средний заработок одного рабочего бригады составит: (5400 + 5600 + 5800 + 6400 + 6600 + 6800)/6 = 36600/6 = 6100руб. Сумма абсолютных отклонений от среднего уровня: ‌|‌-700‌| + ‌|-500‌| + ‌|-300‌| + ‌|300‌| + ‌|500‌| + ‌|700| = 3000 руб., и среднее линейное отклонение определится как = 3000 / 6 = 500 руб. ◄

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

Формула (4) используется при повторяемости отдельных значений признаков. Здесь применяется второе свойство средней арифметической: алгебраическая сумма отклонений от среднего уровня равна нулю и при исчислении среднего линейного отклонения принимаются во внимание только абсолютные значения отклонений без учёта знаков («+» или «-»).

Показатель линейного отклонения широко применяется на практике. С его помощью изучаются, например, ритмичность и равномерность производства, равномерность поставок материалов и отгрузки готовой продукции, разрабатываются системы материального стимулирования и т.д. Однако этот показатель усложняет вероятностные расчеты, затрудняет применение методов математической статистики.

Поэтому в статистических исследованиях для измерения вариации чаще применяют показатель отклонения от среднего уровня в форме дисперсии.

Дисперсия признака определяется на основе квадратической средней и обозначается σ² (иногда дисперсию обозначают символом S или D).

. (5)

При равенстве весов или когда они равны 1

. (6)

При наличии весовых характеристик признака используется формула (5). Дисперсия тогда называется взвешенной. Формула (6) используется при отсутствии весов. Дисперсия называется простой.

Дисперсия имеет большое значение в статистическом анализе. Показатель дисперсии в статистике является оценкой одноименного показателя в теории вероятностей и (как сумма квадратов отклонений) оценкой показателя дисперсии в математической статистике, что и позволяет использовать положения этих теоретических дисциплин для анализа социально-экономических процессов. Характеристика вариации уровнем дисперсии или средним квадратическим отклонением используется в корреляционном анализе для оценки связи статистических переменных, в регрессионном анализе – для определения типов и параметров этих связей, в дисперсионном анализе – для обнаружения основных причин изменения уровня результативного показателя. Также весьма широко характеристика вариации средним квадратическим отклонением применяется в многомерных статистических методах, которые включают факторный, компонентный, дискриминантный, кластерный, многомерный регрессионный анализ и т.д. [ 5 ].

Однако применение дисперсии как меры вариации в ряде случаев бывает не совсем удобным, потому что размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака. В таких случаях для измерения вариации признака вычисляют среднее квадратическое отклонение.

Показатель σ, определяемый как , называется средним квадратическим отклонением.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней, т.е. из дисперсии. При равенстве весов используют простую дисперсию

. (7)

При вычислении среднего квадратического отклонения по взвешенной дисперсии применяется формула

. (8)

Если необходимо, то поясняют признак, для которого определяется показатель дисперсии, например σ²(х) или σ²(у).

Исчисление среднего квадратического отклонения и дисперсии позволяет устранить недостаток среднего квадратического отклонения, так как любое число (положительное или отрицательное), возведенное в квадрат, будет числом положительным.

▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

│►4. Так, заработная плата 6-х рабочих бригады: 5400 руб., 5600 руб., 5800 руб., 6400 руб., 6600 руб., 6800 руб. Предварительное исчисление среднего заработка Зср = 5400 + 5600 + 5800 + 6400 + 6600 + 6800 = = 36600 / 6 = 6100 руб. Сумма квадратов абсолютных отклонений от среднего уровня составит (-700)2 + (-500)2 + (-300)2 + 3002 + 5002 + 7002 = = 1 660 000 (руб.)2. Величина дисперсии заработной платы определится как 1 660 000 / 6 = 276 667 (руб.)2, а среднее квадратическое отклонение как σ = = 526 руб. ◄

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

Перечисленные показатели характерны тем, что вариация измеряется в тех же единицах, что и изучаемый признак (для дисперсии единицей измерения является квадрат единицы измерения признака). Такие абсолютные размеры единиц измерения не всегда удобны, так как затрудняют сравнение изменчивости различных признаков. Так, дисперсия урожайности измеряется в центнерах в квадрате, а дисперсия себестоимости одного центнера – в рублях в квадрате, и сопоставить их нельзя. Кроме того, одна и та же дисперсия по своей абсолютной величине может иметь различное экономическое значение.

Для взаимного сравнения и сопоставления уровня вариации разных признаков её представляют в относительной форме.

Относительные показатели вариации определяются делением абсолютного уровня вариации признака на его среднее значение.

Соответственно получают:

· для размаха вариации – коэффициент осцилляции К_осц;

· среднего линейного отклонения – относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации) К_{лин.вар};

· среднего квадратического отклонения – коэффициент вариации (простой коэффициент вариации) .

Относительные показатели вариации обычно указываются в процентах или долях.

Если взять отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической в процентах, то получим линейный показатель вариации:

_н = . (9)

Отношение размаха вариации к средней арифметичексой в процентах называется показателем осцилляции

_R = . (10)

Самым распространённым относительным показателем колеблемости является коэффициент вариации. Он представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической

= . (11)

При помощи коэффициента вариации возможно, например, сравнение размера колеблемости производительности труда групп рабочих, занятых производством различных видов продукции, размера устойчивости (колеблемости) урожаев разных сельскохозяйственных культур и т.д.

Чем меньше коэффициент вариации, тем меньше колеблемость признака и наоборот, чем больше его величина, тем больше разброс значений вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу.

Особенно применим коэффициент вариации в тех случаях, когда нужно сравнивать средние квадратические отклонения, выраженные в разных единицах.

В практической статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30 –35%, принято считать неоднородными.

▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

│►5. В табл.1 представлены данные о зарплате работников Таблица 1 Данные о работниках расчётной группы отдела   № n/n ФИО Заработная плата Общий стаж работы Непрерывный стаж Возраст   Котов А.А.           Петров Б.Б.           Филин В.В.           Якушев С.С.         Итого           Так, если по признаку стажа работы Х = 7,4 года и σ = 3,262 года, а по признаку заработной платы Х = 2880 руб. и σ = 411,8 руб., то Vσ = (3,262 / 7,4)100 = 44% по стажу работы – совокупность неоднородна; Vσ = (411,8 / 2880)100 = 14,3% по заработной плате – совокупность однородна. Можно предположить, что для такой совокупности производственный стаж слабо связан с уровнем заработной платы. ◄

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

У относительных оценок вариации есть существенный недостаток.

▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

│►6. Предположим, что та же совокупность рабочих (табл.1) увеличила свой стаж еще на 10 лет. Теперь Х = 17,4 года, но σ остается по-прежнему равным 3,262 года (таково одно из свойств показателя дисперсии). Тогда Vσ = (3,262 / 17,4)100% = 18,7% и совокупность уже может считаться однородной. ◄

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

Если изменение изучаемого явления или признака проявляется в разные периоды времени и в этих изменениях отмечается закономерность, то обычно говорят о динамике явления. В общей временной динамике явления содержится как закономерная часть вариации (тенденция или тренд), так и чисто вариационная составляющая (периодическая либо случайная).

Здесь важно иметь представление о вариационном ряде.

Вариационный ряд – это упорядоченное распределение единиц совокупности (строится чаще по возрастанию, реже - по убыванию).

Существуют различные формы вариационного ряда:

Ранжированный ряд – перечень отдельных единиц совокупности, расположенных в порядке возрастания или убывания.

Дискретный вариационный ряд - табличное выражение признаков с частотами.

Интервальный вариационный ряд – значения признаков даны в определённых интервалах, которым соответствуют частоты.