Функцияның ақырсыздықтағы шегі

Анықтама. Кезкелген () саны үшін қандай да бір саны табылып, болғанда орындалса, онда саны функциясының шегі деп аталады және түрінде белгіленеді.

Анықтама. саны үшін, саны табылып, болғанда орындалса, онда саны функциясының шегі деп аталады және деп жазылады.

Анықтама. үшін, саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын тер үшін теңсіздігі орындалса, онда саны функциясының шегі деп аталады және түрінде белгіленеді.

Ескерту: Жоғарыдағы анықтамалардан функциясы ретімен алғанда интервалдарында анықталады деп есептеледі. Дербес жағдайда, егер функциясы натурал сандар жиынында да анықталса, онда

Белгілеулері сан тізбегін анықтайды. Ал өрнегі былайша сан тізбегі шегіне көшеді.

Функцияның нүктедегі және ақырсыздықтағы шектерін шартты түрде ( сан немесе шексіздіктерінің біреуі) етіп белгілейік. Онда функция шегінің қасиеттері мен тізбектер шегінің қасиеттері бірдей болады. Мысалы: 1) Тұрақты функцияның (тізбектің) шегі осы тұрақтыға тең; 2) Егер функцияның (тізбектің) шегі болса, онда ол жалғыз болады.

Анықтама. функциясы жиынында анықталып, үшін саны табылып, () теңсіздігі орындалса, онда функциясы жиынында жоғарыдан (төменнен) шектелген делінеді.

Функция жоғарыдан (төменнен) шектелсе, онда ол аралығында шектеулі. Мысалы, а) функциясы аралығында шектеулі, себебі кезкелген үшін ; б) тізбегі шектеулі. , шектері бар болғанда, функция интервалдарында шектеулі; в) функциясы a нүктесінің маңайында шектеулі; г) шегі бар кезкелген сан тізбегі шектеулі.

Теорема. (а, ) интервалында функция өспелі (кемімелі) болса және осы аралықта жоғарыдан (төменнен) С санымен шектелсе, онда , яғни функцияның нүктесінде сол жақ ( нүктесінде оң жақ) шегі табылады және .

Жаттығу: Бұл теореманы сан тізбегі үшін келтіріңіз.