Гаусс әдісі

n белгісізі бар m теңдеулер жүйесі, яғни берілсін.

Жүйені Гаусс әдісімен шешу екі кезеңнен тұрады. Бірінші кезеңде (тік жүріс) жүйе трапеция тәріздес түрге келтіріледі.

– трапеция тәріздес жүйе.

Мұнда коэффициенттері жүйенің негізгі элементтері деп аталады. Екінші кезіңде (кері жүріс) мүмкін болса, шыққан жүйеден біртіндеп белгісіздерді табады.

Практикада жүйемен емес кеңейтілген матрицамен істеген ыңғайлы болады. Сондықтан жүйені Гаусс әдісімен шешу үшін кеңейтілген матрица құрып,оны элементарлық түрлендірудің көмегімен трапеция тәріздес түрге келтіреді. Бұл жағдайда коэффициентінің 1-ге тең болғаны ыңғайлы. Ол үшін теңдеулердің орындарын ауыстыру керек немесе теңдеудің екі жағын да бөлу керек. Содан соң қайтадан жүйе құрып, сол жүйені шешеміз.

6-мысал. жүйесін Гаусс әдісімен шешу керек.

~ Екінші матрицаның екінші жолын алу үшін бірінші жолды -ге көбейтіп, екінші жолға қостық, ал үшінші жолын алу үшін бірінші жолды ге көбейтіп, үшінші жолға қостық. Жүйе матрицасы үшбұрышты түрге келді. Енді қайтадан матрицадан жүйеге көшейік және соңғы жолдан бастап жазайық.

. Осыдан . Жауабы:

Теорема(Кронекер-Капелли) жүйе үйлесімді болуы үшін жүйенің матрицасының рангі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни .

Әдебиеттер: 1 нег.[ 20-41], 11 қос. [115-135].

Бақылау сұрақтар:

1. Матрицаның рангісінің анықтамасын беріңіз.

2. Кері матрицаның анықтамасын беріңіз.

3. Кері матрица қалай есептелінеді?

4. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің әдістерін айтыңыз.