Физическое и математическое понятия устойчивости

Неустойчивая система может привести управляемый объект в аварийное состояние. Поэтому проблема устойчивости систем является одной из центральных в ТАУ.

Физическое определение устойчивости автоматической системы – это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния.

Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно удаляется от него.

Неустойчивость систем автоматического управления возникает из-за:

1) неправильного действия обратной связи;

2) очень сильного действия обратной связи.

Первый случай может возникать, когда из-за ошибки в монтаже системы главная обратная связь оказывается положительной вместо отрицательной. Такую неустойчивость называют статической.

Второй случай (динамическая неустойчивость) проявляется в системах с отрицательной обратной связью, при слишком большом коэффициенте усиления разомкнутого контура () и большом запаздывании в объекте управления. Из-за запаздывания сигнал главной отрицательной обратной связи может настолько отставать от входного сигнала, что окажется с ним в фазе (), т.е. отрицательная обратная связь фактически станет положительной.

Математическое определение устойчивости автоматической системы – система является устойчивой, если свободная составляющая х _С(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т.е. если . Это условие асимптотической устойчивости.

Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т.е. если , то система неустойчива.

Если х _С(t) не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.

9.2. Связь вида переходного процесса
с корнями характеристического уравнения системы

Решение дифференциального уравнения, описывающего свободное движение системы, равно сумме

, (9.1)

где С_k – постоянные, зависящие от начальных условий;

p_k – корни характеристического уравнения.

Свободная составляющая (9.1) при t → ∞ стремится к нулю лишь в том случае, если каждое слагаемое стремится к нулю. Характер функции зависит от вида корня p_k.

х С

р 4

р 5

jβ

р 1

р 7

р 8

р 6

р 2

р 3

р 9

α

t

Область устойчивости

Область неустойчивости

Рассмотрим все возможные случаи расположения корней p_k на комплексной плоскости (рис. 9.1) и соответствующие им функции .

Рис. 9.1. Влияние корней характеристического уравнения на устойчивость системы

1. Каждому действительному корню p_k = α _k в решении (9.1) соответствует слагаемое вида

. (9.2)

Если α _k < 0 (корень p ₁), то функция (9.2) при t → ∞ стремится к нулю.

Если α _k > 0 (корень p ₃), то неограниченно возрастает.

Если α _k = 0 (корень p ₂), то эта функция остаётся постоянной.

2. Каждой паре сопряжённых комплексных корней соответствует колебательный процесс.

Если действительная часть α _k комплексных корней отрицательна (корни р ₄ и р ₅), то колебания будут затухать.

Если α _k > 0 (корни p ₈ и р ₉), то амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать.

Если α _k = 0 (корни p ₆ и р ₇), т.е. если оба корня мнимые, то представляет собой незатухающую синусоиду.

Условия устойчивости:

1. Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными, т.е. находились в левой полуплоскости.

2. Мнимая ось является границей устойчивости. Если имеется одна пара чисто мнимых корней (корни p ₆ и р ₇), а все остальные находятся в левой полуплоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания. Это означает, что система находится на колебательной границе устойчивости.

3. Если таких корней два, то такая система неустойчива.

Таким образом, для оценки устойчивости системы достаточно определить лишь значения действительных частей корней характеристического уравнения.

В ТАУ разработан ряд правил, с помощью которых можно судить о знаках корней, не решая характеристического уравнения. Эти правила называются критериями устойчивости.

Простейшим критерием устойчивости является условие положительности коэффициентов характеристического уравнения. Это необходимое, но не достаточное условие. Т.е. при всех положительных коэффициентах система может быть устойчива или неустойчива, но если хотя бы один коэффициент отрицательный или равен нулю, то система будет неустойчива.

При анализе устойчивости САУ решают одну или несколько задач:

1) оценивают устойчивость системы при заданных параметрах;

2) оценивают допустимый по условию устойчивости диапазон изменения параметров системы;

3) выясняют, может ли система при заданной структуре быть в принципе устойчивой;

Первая задача может быть решена с помощью критериев устойчивости, вторая – построением областей устойчивости, третья – с использованием условий структурной устойчивости.