Вероятность_успеха – вероятность успеха – p

интегральная – логическая константа

– если интегральная = 1, то БИНОМРАСП вычисляет значение функции распределения ;

– если интегральная = 0, то БИНОМРАСП выдает значение вероятности .

В Excel вероятность вычисляется как разность:

БИНОМРАСП (число_успехов = k₂; число_испытаний; вероятность_успеха; 1) –

– БИНОМРАСП (число_успехов = k₁; число_испытаний; вероятность_успеха; 1).

Распределение Пуассона с параметром P(l) (“закон редких явлений”)

Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает любые целые значения 0, 1, 2, … и вероятности того, что она примет определенное значение m, выражается формулой

,

λ – параметр, положительная величина.

Числовые характеристики распределения Пуассона: и

Если число испытаний в схеме Бернулли велико, а вероятность успеха мала и , то можно использовать предельную теорему Пуассона, которая позволяет вычислить вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли будет равно m, по формуле

, где .

Для вычисления вероятности в Excel используется функция ПУАССОН (x; среднее; интегральная):

x – значение случайной величины (целое число), для которой вычисляется вероятность;

среднее – математическое ожидание случайной величины

интегральная – логическая константа:

– если интегральная = 1, то ПУАССОН вычисляет значение функции распределения

;

– если интегральная = 0, то ПУАССОН вычисляет значение вероятности

В Excel вероятность вычисляется как разность:

ПУАССОН (x = k₂; среднее ; интегральная = 1) –

– ПУАССОН (x = k₁; среднее; интегральная = 1)

Экспоненциальное (показательное) распределение, Exp(l).

Непрерывная случайная величина называется распределенной по показательному закону, если ее плотность распределения описывается формулой:

где λ – параметр, положительное число.

Функция распределения имеет вид:

Числовые характеристики: .

Для вычисления функции распределения и функции плотности показательного распределения в Excel используется функция

ЭКСПРАСП (x; лямбда; интегральная)

x – значение аргумента, для которого вычисляется значение функции или ;

лямбда – параметр, ;

интегральная – логическая константа:

– если интегральная = 1, то ЭКСПРАСП вычисляет значение функции распределения

;

– если интегральная = 0, то ЭКСПРАСП выдает значение функции плотности

В Excel вероятность вычисляется следующим образом (как зность):

ЭКСПРАСП (x₂; лямбда; интегральная = 1) –

– ЭКСПРАСП (x₁; лямбда; интегральная = 1)

Нормальный закон распределения N(m,s).

Случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность вероятности задается формулой:

, , .

Функция распределения нормальной случайной величины вычисляется по формуле:

, .

1. График плотности f(x) симметричен относительно прямой x = m.

2. Функция имеет единственный экстремум (максимум) в точке x = m.

3. Для нормального распределения .

4. - обратно пропорциональна параметру . Так как площадь, заключенная между кривой f(x) и осью абсцисс равна , то чем больше , тем больше растянута кривая f(x) вдоль оси абсцисс, и чем меньше , тем больше растянута кривая f(x) вдоль оси ординат.

5.

Интеграл вычисляется приближенно.

Для определения вероятности того, что случайная величина X примет значение из промежутка [a, b] составляются таблицы некоторой стандартной функции.

Если m = 0, = 1, функция плотности нормального распределение принимает вид

и называется стандартным нормальным распределением.

Вероятность попадания случайной величины в интервал [a, b] вычисляется с помощью функции Лапласа

Свойства функции Лапласа:

1. Функция Лапласа определена при x > 0 и является нечетной функцией

;

2. ;

3. ;

5. .

Для вычисления функции распределения и функции плотности, нормально распределенной случайной величины, в Excel используется функция НОРМРАСП (x; среднее; стандартное_откл; интегральная):

x – значение аргумента, для которого вычисляется значение функции или ;

среднее – среднее нормального распределения, математическое ожидание m = ;

интегральная – логическая константа:

– если интегральная = 1, то НОРМРАСП вычисляет значение функции распределения

;

– если интегральная = 0, то НОРМРАСП вычисляет значение плотности распределения

В Excel вероятность вычисляется следующим образом (как разность):

НОРМРАСП (x₂; среднее; стандартное_откл; интегральная = 1) –

– НОРМРАСП (x₁; среднее; стандартное_откл; интегральная = 1).

Функции Лапласа в Excel вычисляется так образом:

НОРМРАСП (x; среднее = 0; стандартное_откл = 1; интегральная = 1) – 0,5

Для вычисления функции стандартного нормального распределения в Excel

используется НОРМРАСП с аргументами

=НОРМРАСП (x; среднее = 0; стандартное_откл = 1; интегральная = 0)..

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Локальная теорема Муавра-Лапласа дает асимптотическое приближение при большом количестве испытаний и достаточно больших вероятностях события А.

Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

, где , .

Значение функции находят по таблицам.

Функция j (x) четная, поэтому для отрицательных и положительных значений аргумента пользуются одними таблицами, т.е. j (-x) = j (x).

Вычисление функции j (x) в Excel:

=НОРМРАСП (x; среднее = 0; стандартное_откл = 1; интегральная = 0).

Интегральная теорема Лапласа Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от m₁ до m₂ раз, приближенно равна определенному интегралу

, где ,

– функция Лапласа .

Для решения задач с применением интегральной теоремы Лапласа используются таблицы функции Лапласа .Функция Лапласа – функциянечетна, а это значит, что

.

=

= НОРМРАСП (x₂; среднее = np; стандартное_откл = ; интегральная = 1) –

– НОРМРАСП (x₁; среднее = np; стандартное_откл ; интегральная = 1).

Пример решения задачи 3.

Проводится n = 220 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 0,25, m – число удачных испытаний в серии.

Найти вероятность ровно 50 удачных испытаний:

- по формуле Бернулли;

- по асимптотической формуле Пуассона;

- по локальной формуле Муавра-Лапласа.

Найти вероятность числа успешных испытаний от m₁ = 39 до m₂ = 50:

- по формуле Бернулли;

- по асимптотической формуле Пуассона;

- по интегральной формуле Муавра-Лапласа.

Для заданных исходных данных построить совместные графики биномиального распределения, распределения Пуассона и график функции локальной теоремы Муавра-Лапласа. Все вычисления выполнить в Excel

Решение.

1. Число испытаний n = 220. Событие A может появиться от 0 до 220 раз (m – число успехов). Математическое ожидание числа успехов M(X) = n· p = 220·0,25 = 55, среднее квадратическое отклонение . Надо выбрать и ввести в Excel в качестве исходных данных такое число испытаний, в таком диапазоне изменения m и с таким шагом, чтобы график был отчетлив. В рассматриваемом варианте диапазон изменения m надо выбрать (исходя из правила 3 s) = (55 – 3·6,4, 55 + 3·6,4) ≈ (30, 80).

Исходные данные (число испытаний) введены в столбец A4:A29 в диапазоне от 30 до 80 с шагом через 2 испытания. Массив A4:A29 получается компактным.

Далее, в ходе построения графиков, диапазон и шаг исходных данных можно изменить или уточнить

= БИНОМРАСП(m = 30;n = 220;p = 0,25;0)

=ПУАССОН(m = 30;np = 55;0)

x =

=

Рис 1. Таблица с исходными данными и вычислениями:

B(n, p) – биномиальное распределение;

P(l) – распределение Пуассона;

Столбец x – x = , m – число удачных испытаний;

Локальная формула Муавра-Лапласа – .

Рис 2. График биномиального распределения почти совпадает с графиком, построенным по локальной формуле Муавра-Лапласа, и расходится с графиком распределения Пуассона.

Рис 3. Результаты вычисления вероятности ровно m = 50 успешных испытаний, с использованием биномиального распределения, распределения Пуассона и локальной формулы Муавра-Лапласа. Результаты вычисления вероятности числа успешных испытаний от m₁ = 39 до m₂ = 50 с использованием биномиального распределения, распределения Пуассона и интегральной формулы Муавра-Лапласа.

Выводы. Excel позволяет выполнить вычисления вероятностей в схеме испытаний Бернулли для любого, сколь угодно большого числа испытаний, и сколь угодно малой вероятности успеха, не используя асимптотические формулы Пуассона или Муавра-Лапласа, с любой необходимой точностью.