Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Модой непрерывной случайной величины X с плотностью f(x), наз. число , при котором f(x) достигает максимального значения.

Медианой непрерывной случайной величины X с функцией распределения F(x) наз. число , такое, что .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с функцией плотности f(x), наз. число

.

Математическое ожидание называют средним значением (срединным значением, средним взвешенным, центром рассеивания) случайной величины.

Дисперсией случайной величины наз. математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания

Среднее квадратическое отклонение

Пример решения задачи 2. Случайная величина X имеет плотность распределения

Найти константу C, M(X), D(X), среднее квадратическое отклонение, Mo(X), Me(X).

Найти F(x). Построить графики функций F(x) и f(x). Найти P(X < 2), P(2 < X < 3), P(X >3).

1. Вычисление постоянной величины C

Следовательно, .

Функция плотности распределения

2. Функция распределения

3. Вычисление математического ожидания

4. Вычисление дисперсии

5. Среднее квадратическое отклонение

6. Мода – наиболее вероятное значение случайной величины X

Следовательно, наиболее вероятное значение случайной величины при x = 3, Mo(X) = 3.

7. Построение графиков функций F(x) и f(x) выполняется в Excel.

В интервале (1,4) задайте шаг изменения X – 0,2.

Рис. 1. Таблица для построения функций и .

Рис. 2. График функции плотности распределения

Графическое отыскание медианы , = 2,6

Рис. 3. График функции распределения

8. Вычисление вероятностей P(X < 2), P(2 < X < 3), P(X >3).

Задача 3. Тема: Основные распределения – биномиальное, Пуассона, нормальное. Теоремы Муавра-Лапласа.

Биномиальное распределение B(n,p) имеет место тогда, когда при каждом из n независимых испытаний случайное событие A может произойти с вероятностью p, а вероятность появления события m раз определяется по формуле Бернулли:

где p = P(A) – вероятность события A в каждом испытании (вероятность успеха), которая считается постоянной:

– число сочетаний из n элементов по m элементов;

q = 1 - p – вероятность события (вероятность неудачи).

Вероятность обладает следующим свойством

Рассмотренная схема испытаний называется схемой испытаний Бернулли.

Случайная величина X, равная числу появлений события A в серии из n испытаний (число успехов) распределена по биномиальному закону.

Вероятность того, что случайная величина X = m вычисляется по формуле Бернулли:

Для биномиального закона распределения:

– математическое ожидание:

– дисперсия:

– среднее квадратическое отклонение

Вероятность того, что в схеме Бернулли событие A в серии из n испытаний появится от k₁ до k₂ раз, вычисляется по формуле .

Для вычисления вероятности в Excel используется функция БИНОМРАСП (число_успехов; число_испытаний; вероятность_успеха; интегральная):

число_успехов – число успехов в серии из n испытаний – m

число_испытаний – число испытаний – n