Методи апроксимації та згладжування

Більшість кількісних методів прогнозування базується на використанні історичної інформації, представленої у вигляді часових рядів, тобто рядів динаміки, які впорядковуються за часовою ознакою.

Головна ідея аналізу рядів динаміки полягає у побудові тренду на основі минулих даних і наступній екстраполяції цієї лінії у майбутнє. При цьому використовуються складні математичні процедури для отримання точного значення трендової лінії, визначення будь-яких сезонних або циклічних коливань.

Тренд – це тривала тенденція зміни економічних показників у часі.

Аналіз часових рядів доцільно використовувати тоді, коли в наявності є достатній обсяг «історичної» інформації, а зовнішнє середовище досить стабільне. Недоліком можна вважати те, що головне припущення може бути помилковим - майбутнє, насправді, може бути несхожим на минуле.

Лініями тренду можна доповнити ряди даних, представлені на ненормованих плоских діаграмах з областями, лінійчатих діаграмах, гістограмах, графіках, біржових, точкових і кругових діаграмах. Використання лінії тренду того або іншого вигляду визначається типом даних. Не можна доповнити лініями тренду ряди даних на об’ємних діаграмах, нормованих діаграмах, пелюсткових діаграмах, кругових і кільцевих діаграмах. Ясніше закономірність в розвитку даних показує згладжена крива. Вона будується по точках ковзного середнього, де під ковзним середнім мається на увазі послідовність середніх чисел, кожне з яких обчислене по деякій підмножині ряду даних.

У Excel використовуються шість різних видів ліній тренду (апроксимації та згладжування), які можуть бути додані в діаграму:

1) Лінійна апроксимація (Linear) – це пряма лінія, що щонайкраще описує набір даних. Рівняння прямої

у=ах+b, (14.1)

де а – тангенс кута нахилу,

b – точка перетину прямої осі у.

Лінійна апроксимація застосовується для змінних, які збільшуються або убувають з постійною швидкістю.

У даному випадку змінна х показує період часу, параметр а – величину, на яку в середньому змінюється (збільшується при а>0 та зменшується при а<0) прогнозована змінна у при зростанні х на один період, а параметр b – позначення у при х=0.

2) Логарифмічна апроксимація (Logarithmic) добре описує позитивні, так і негативні величини, які спочатку швидко зростають або убувають, а потім поступово стабілізуються. Логарифмічна апроксимація використовує рівняння

у=а×lnx+b, (14.2)

де а і b – константи,

ln – натуральний логарифм.

3) Поліноміальна апроксимація (Polynomial) використовується для опису величин, що поперемінно зростають і убувають. Її доцільно застосовувати для аналізу великого набору даних нестабільної величини. Міра полінома визначається кількістю екстремумів (максимумів і мінімумів) кривої. Поліном другої міри може описати лише один максимум або мінімум. Поліном третьої міри має один або два екстремуми. Поліном четвертої міри може мати не більше трьох екстремумів. Поліноміальна апроксимація описується рівнянням

y=a₀+а₁х¹+а₂х²+…+а₁₈x¹⁸, (14.3)

де а, а₁ – а₁₈ – константи.

Необхідний ступінь полінома задається в полі «Степень». Максимальна величина ступеня – 18.

4) Ступенева апроксимація (Power) дає добрі результати, якщо залежність, яка міститься в даних, характеризується постійною швидкістю росту. Прикладом такої залежності може служити графік прискорення автомобіля. Якщо в даних є нульові або негативні значення, використання ступеневого наближення неможливе. Ступенева апроксимація описується рівнянням

у=а×хⁿ, (14.4)

де а і n – константи.

Параметр а показує рівень у при х=1, а параметр а – ступінь еластичності змінної у по змінній х.

5) Експоненціальну апроксимацію (Exponential) слід використовувати в тому випадку, якщо швидкість зміни даних безперервно зростає. Проте для даних, які містять нульові або негативні значення, цей вигляд наближення непридатний. Експоненціальна апроксимація описується рівнянням

у= а×e^bx, (14.5)

де а і b – константи.

Параметр а показує рівень у при х=0, а параметр е^b – середній темп зростання у при зростанні х на один період.

6) Лінійна фільтрація (Moving average) дозволяє згладити коливання даних і таким чином наочніше показати характер залежності. Така лінія тренду будується по певному числу точок (вона задається параметром «Точки» (Period)). Елементи даних усереднюються, і отриманий результат використовується як середнє значення для наближення. Так, якщо параметр «Тонки» рівний 2, перша точка згладжуючої кривої визначається як середнє значення перших двох елементів даних, друга крапка – як середнє наступних двох елементів і так далі. Для розрахунку ковзного середнього використовується рівняння

у= (A_j+A_{j_i}+ +A_{j_n+i}) /n. (14.6)

Для додавання лінії тренду до рядів даних за допомогою пакету MS Excel виконаєте наступні дії:

1) виділіть ряд даних, до якого потрібно додати лінію тренду або ковзаюче середнє;

2) виберіть команду «Добавить линию тренда» (Add Trendline) у контекстному меню. На вкладці «Тип» (Туре) виберіть потрібний тип регресійної лінії тренду або лінії ковзаючого середнього:

а) при виборі типу «Полиномиальная» (Polynomial) введіть в поле «Степень» (Order) найбільшу ступінь для незалежної змінної;

б) при виборі типа «Линейная фильтация» (Moving Average) введіть в поле «Точки» (Period) число точок, використовуваних для розрахунку ковзаючого середнього;

3) для виведення значення R-квадрат при побудові лінії тренду треба на вкладці «Параметры» (Options) встановити прапорець «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2) (Display R-squared value on chart);

4) для виведення рівняття тренду слід встановити прапорець «Показывать уравнение на диаграмме».

Якщо варіант «Линейная фильтация» (Moving Average) вибраний для точкової діаграми, результат залежатиме від порядку розташування значень х у вхідному діапазоні. Аби отримати правильний результат, необхідно відсортувати значення х перед побудовою лінії ковзаючого середнього.

Оцінка надійності лінії тренду до фактичних даних виконується по показнику визначеності або величині R-квадрат. R-квадрат може змінюватися від 0 до 1. Чим більше величина цього показника, тим достовірніше лінія тренду. Значення R-квадрат автоматично розраховується Excel при підборі лінії тренду до даних. Це значення можна відображувати на діаграмі. Відзначимо, що для ковзного середнього значення R-квадрат не може бути відображене.