Краткие сведения из теории. Вынужденными колебаниями называются процессы, происхо-дящие в контуре, содержащем конденсатор, катушку индуктивности

Вынужденными колебаниями называются процессы, происхо-дящие в контуре, содержащем конденсатор, катушку индуктивности, резистор и источник с переменной ЭДС, включённые последователь-но и образующие замкнутую электрическую цепь.

Если ЭДС источника меняется по гармоническому закону, то в контуре наблюдаются вынужденные гармонические колебания. При этом ток в контуре также будет переменным, подчиняющимся закону Ома в комплексной форме.

Комплексная величина есть определённая совокупность двух

алгебраических чисел Z A iB Zeⁱ, где A – действительная часть, B –мнимая часть, Z –модуль, –фаза комплексной величины.Гра-

фически Z изображается, как радиус-вектор на комплексной плоско-сти: его длина равна Z, а угол между вектором и горизонтальной (действительной) осью равен.

Комплексный ток и комплексное напряжение:

I (t) I ₀ e^{i t}, U (t) U ₀ e^{i t}.

Это векторы, которые вращаются с угловой скоростью. Здесь U ₀ U ₀ e^{i 0 u} – комплексная амплитуда напряжения;

I ₀ I ₀ e^{i 0 i} –комплексная амплитуда тока.

I ₀и U ₀–комплексные векторы,которые на комплексной плос-

кости неподвижны. Они соответствуют «мгновенной фотографии» реальных комплексных токов и напряжений, сделанной в начальный момент времени (t 0).

Комплексная амплитуда – самая комплексная величина, взятая в начальный момент времени.

Импеданс – это отношение комплексной амплитуды напряжения на данном элементе к комплексной амплитуде тока через данный эле-мент.

Модуль импеданса называется полным электрическим сопро-тивлением цепи.

U

U

0 e

i ()

;

.

Z

0

0 u

0 i

I 0

I 0

сдвиг фаз

между током

и напряжением

а) для цепи с резистором:	U	R;	U
I	0 R;фазы напряжения и
		I 0

тока одинаковые. Импеданс равен R.

б) для цепи с катушкой индуктивности: действует закон элек-тромагнитной индукции (самоиндукции): _с.и. L ^dI _dt.

Используя его и закон Ома для комплексных величин, получим:

^U L

I

U _L L ^d_dt^I;

_{I I 0 e}^{i ( t} 0 i ^{) dI} _{I 0 e} 0 i _{(i ) e}^{i t} dt

U_L L (i) I ₀ e^{i ( t 0)}.

I (t)

i L X _L i L –импеданс катушки индуктивности.

Напряжение на катушке опережает по фазе ток через неё на /2. в) для цепи с конденсатором:

UC	q		dUC		1 dq			I	или
C	dt	C dt	C
Пусть UC	U 0 C ei ( t 0 u ) , тогда

^dUC ¹ _{I .} dt C

I C ^dUC C i U_C (t). dt

Найдём отношение	UC				i	. Отсюда		i	– ком-
					X C
i C	C	C
	I

плексное сопротивление (импеданс) конденсатора.

Напряжение на конденсаторе отстаёт по фазе от тока через него на /2.

Модуль комплексного сопротивления (катушки или конденсато-ра) называется реактивным сопротивлением (индуктивным или ёмко-стным). Обозначается символом без крышечки над ним.

Все элементы в контуре соединены последовательно, поэтому для нахождения импеданса контура надо просуммировать импедансы всех элементов:

Z _K R X _L X _C.

После подстановки можем получить модуль импеданса, т.е. полное сопротивление контура:

Z	R	L	.
					C

Резонансом для тока называется явление резкого увеличения амплитуды колебаний тока при приближении частоты ЭДС к некото-рому значению, называемому резонансной частотой _рез. Нетрудно

видеть, что максимум амплитуды тока будет тогда, когда минимально

полное	сопротивление контура или Z	рез	R	и L		, отсюда
C
			, что соответствует частоте свободных колебаний в контуре.
	LC

Максимум напряжения на конденсаторе соответствует резонан-су для напряжения, который наблюдается при несколько меньшей частоте ЭДС:

				R 2			,
рез. U		LC		2 L 2

где ₂ ^R_L – коэффициент затухания для данного контура.

Амплитуда резонансного напряжения на конденсаторе U _{0 C} про-порциональна амплитуде ЭДС и добротности контура Q:

U _{0 C} Q ₀.

При не слишком большом затухании в контуре добротность оп-ределяется соотношением:

Q,

L

где	L	– называется характеристическим сопротивлением конту-
C

ра. Чем больше добротность, тем «острее» резонанс. Резонансной кривой называется зависимость амплитуды напря-

жения на конденсаторе от частоты ЭДС.