Интегрирование тригонометрических функций. Рассмотрим интегралы вида: , где — рациональная функция от и

Рассмотрим интегралы вида: , где — рациональная функция от и .

Такие интегралы всегда рационализируются с помощью универсальной подстановки

Тогда .

Пример. Вычислить интеграл . Воспользуемся универсальной подстановкой , тогда получим: Заменив переменную, вычислим интеграл.

Универсальная подстановка во многих случаях приводит к громоздким выкладкам, поэтому рассмотрим некоторые частные подстановки, упрощающие вычисления.

· Подынтегральная функция является нечётной относительно , то есть В этом случае используется подстановка .

· Подынтегральная функция является нечётной относительно , то есть В этом случае используется подстановка .

· Если подынтегральная функция зависит нечётным образом и от , и от , то можно использовать подстановки или или .

· Если подынтегральная функция зависит чётным образом и от , и от , тогда используем подстановку . Отсюда:

;