Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод замены переменной является одним из основных методов интегрирования. Он базируется на следующей теореме.

Теорема. Если требуется найти интеграл (но сложно отыскать первообразную), то замена x = j(t) и dx = j¢(t)dt приводит к интегралу следующего вида:

.

Пример. Вычислить интеграл . Выполним подстановку , тогда , откуда . Заданный интеграл преобразуется теперь к табличному . Возвращаясь к первоначальной переменной , получим

Замечание (частный случай). Пусть , тогда

.

Пример. Вычислить интеграл . .

Замечание. Если подынтегральное выражение содержит , то удобно применить подстановку или подстановку .

Если подынтегральное выражение содержит , то удобно применить подстановку или подстановку .

Если подынтегральное выражение содержит , то удобно применить подстановку или подстановку .