Применение дифференциальных уравнений 2-го порядка для решения геометрических задач

Из курса математического анализа известно, что производная функции применяется для исследования геометрических свойств линий, а именно: выпуклость (вверх и вниз) и кривизна линии. Кривизна линии характеризует скорость вращения касательной к кривой при движении точки по кривой.

Пусть есть угол, на который поворачивается касательная при переходе из точки кривой линии в точку , а − длина части кривой между названными точками. Тогда величина выражает среднюю кривизну дуги . Величина = называется кривизной кривой , а величина радиусом кривизны кривой в точке .

Для окружности кривизна величина постоянная и равна , где – радиус окружности. Чем меньше радиус, тем больше кривизна. Последнюю формулу легко получить из того, что длина любой дуги окружности равна , где − радиус окружности, – центральный угол, опирающийся на дугу (центральный угол, опирающийся на дугу окружности равен углу между касательными, проведенными к дуге окружности в её концах).

На рис.2.1 показана окружность радиуса для точки кривой. Учитывая смысл предельного перехода, заметим, что кривую в окрестности точки можно заменить соприкасающейся окружностью радиуса . Центр этой окружности располагается на нормали кривой в данной точке, причём в той же полуплоскости относительно касательной, что и рассматриваемая кривая.

В математическом анализе для вычисления кривизны линии в каждой её точке получена формула = . Это значит, что радиус кривизны = .

Известно, что для линий, выпуклых вниз, производная >0. Для таких линий и , что согласуется с чертежом. Соответственно, для линий, выпуклых вверх − и . Учитывая замеченное свойство кривых линий, удобно определить проекцию радиуса кривизны на ось формулой = , что отражает направление радиуса кривизны вдоль нормали кривой для рассматриваемой точки.

Пример 2.12. Найти уравнение линии, для которой проекция радиуса кривизны на ось равна 1.

Решение. 1) Учитывая условие задачи: =1, запишем дифференциальное уравнение, соответствующее требуемым геометрическим свойствам линии или .

2) Дифференциальное уравнение решаем способом понижения порядка, принимая = . Тогда . Перепишем уравнение , или . Интегрируя это уравнение, получаем , или .

3) Так как = , из выражения следует . Учитывая, что = , получим уравнение . При вычислении интеграла левой части применяем способ замены переменных. В результате получим .

Замечание. Выражение общего решения можно преобразовать к виду более удобному для применения в задачах Коши .

Ответ. , или .