Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений может быть использован метод вариации произвольных постоянных. Опишем его алгоритм на примере неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка.
1) Для заданного уравнения запишем соответствующее ему однородное дифференциальное уравнение
. (2.1)
2) Находим общее решение данного однородного уравнения: , где и – функции ФСР, а и – произвольные постоянные.
3) Заменим постоянные и на функции и , причём так, что функция будет уже решением неоднородного уравнения.
4) Найдём производную для функции : = + и потребуем
=0, (2.2)
то есть, чтобы производная имела такой же вид, как и при постоянных и .
5) Учитывая (2.2), найдём производную . Получаем = + .
6) Подставив , и в исходное уравнение и учитывая, что и являются решениями однородного уравнения, получаем ещё одно требование к функциям и
= . (2.3)
7) Из условий (2.2) и (2.3) составляем систему:
(2.4)
8) Из системы (2.4) нетрудно получить выражения: и , которые затем интегрируем:
и . (2.5)
В выражении (2.5) величины и – произвольные постоянные.
9) Используя (2.5), то есть выражения для функций и , записываем общее решение неоднородного уравнения:
. (2.6)
Из (2.6) следует, что общее решение неоднородного уравнения представляется в виде , где – общее решение однородного уравнения (2.1), а функция = – частное решение неоднородного уравнения.
Пример 2.3. Решить задачу Коши , , , применив метод вариации произвольных постоянных.
Решение: 1) Составляем характеристическое уравнение .
2) Характеристические корни уравнения: . ФСР: и . Составим общее решение однородного уравнения: = .
3) Составим систему: В нашем случае: Из этой системы получаем и .
4) Вычислим: = и = = . Составим частное решение неоднородного уравнения
= = .
5) Составим общее решение неоднородного уравнения .
6) Для заданных начальных условий получаем , .
Ответ: Общее решение: , частное решение: .
Задание 2.3. Решить задачу Коши, применяя метод вариации произвольных постоянных.
Вар. | Уравнение | Начальные условия |
2.3.1 | ; | =1, = . |
2.3.2. | ; | . |
2.3.3. | ; | =1, = . |
2.3.4. | ; | . |
2.3.5. | ; | =1, = . |
2.3.6. | ; | . |
2.3.7. | ; | =1, = . |
2.3.8. | ; | . |
2.3.9. | ; | =1, = . |
2.3.10. | ; | . |
2.3.11. | ; | =1, = . |
2.3.12. | ; | . |
2.3.13. | ; | =1, = . |
2.3.14. | ; | . |
2.3.15. | ; | =1, = . |
2.3.16. | ; | . |
2.3.17. | ; | =1, = . |
2.3.18. | ; | . |
2.3.19. | ; | =1, = . |
2.3.20. | ; | . |
2.3.21. | ; | =1, = . |
2.3.22. | ; | . |
2.3.23. | ; | =1, = . |
2.3.24. | ; | . |
2.3.25. | ; | =1, = . |
2.3.26. | ; | . |
2.3.27. | ; | =1, = . |
2.3.28. | ; | . |
2.3.29. | ; | =1, = . |
2.3.30. | ; | . |
2.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть записано в виде , где – общее решение неоднородного уравнения, – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение неоднородного уравнения. Если правая часть неоднородного уравнения имеет некоторый специальный вид, то частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов.
В данном пункте рассмотрим метод для уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида , где – действительные числа.
Общий алгоритм решения со специальной правой частью указанного вида следующий:
1) Находим корни характеристического уравнения .
2) Если ни один из корней не совпадает с (нерезонансный случай), то частное решение ищем в виде , где и – неопределённые коэффициенты, подлежащие вычислению;
3) Так как функция должна быть решением заданного неоднородного уравнения, то вычислив , и подставив функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения коэффициентов и .
4) Если (случай резонанса):
4.1) , то частное решение ищем в виде .
4.2) , то решение частное решение ищем в виде .
Если , где каждая из функций имеет указанный выше вид, то частное решение находят как сумму соответствующих частных решений .
Пример 2.4. Решить уравнение: , применив метод неопределённых коэффициентов.
Решение: 1) Характеристические корни уравнения: =1. Общее решение однородного уравнения, соответствующего заданному уравнению: = = .
2) Так как = , частное решение ищем в виде , где – неопределённый коэффициент.
3) Находим производные: = , = . Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество . Упрощая, получим равенство , из которого находим значение = .
4) Записываем общее решение неоднородного уравнения = + .
Ответ. Общее решение: = + .
Пример 2.5. Решить уравнение: , применив метод неопределённых коэффициентов.
Решение: 1) Корни характеристического уравнения . Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения = = , где и – функции фундаментальной системы решений, а и – произвольные постоянные.
2) Так как , необходимо найти частные решения:
а) для правой части = , при условии, что ищем = ;
б) для правой части = , при условии, что ищем = .
3) Подставляя функцию и её производные в уравнение с правой частью , получаем тождество, из которого находим значение =1.
4) Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим = , = .
5) Учитывая , запишем = + .
Ответ. Общее решение: = + .
Задание 2.4. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.
Вар. | Уравнение | Вар. | Уравнение |
2.4.1. | . | 2.4.16. | . |
2.4.2. | . | 2.4.17. | . |
2.4.3. | . | 2.4.18. | . |
2.4.4. | . | 2.4.19. | . |
2.4.5. | . | 2.4.20. | . |
2.4.6. | . | 2.4.21. | . |
2.4.7. | . | 2.4.22. | . |
2.4.8. | . | 2.4.23. | . |
2.4.9. | . | 2.4.24. | . |
2.4.10. | . | 2.4.25. | . |
2.4.11. | . | 2.4.26. | . |
2.4.12. | . | 2.4.27. | . |
2.4.13. | . | 2.4.28. | . |
2.4.14. | . | 2.4.29. | . |
2.4.15. | . | 2.4.30. | . |
2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида
Алгоритм решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с правой частью вида такой же, как и для правой части вида неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с правой частью вида :
1) частное решение неоднородного уравнения ищем в виде = , если ни один из корней характеристического уравнения не совпадает с числом , построенном по виду правой части неоднородного уравнения (нерезонансный случай);
2) если характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни и один из них совпадает с числом , то имеем резонансный случай и частное решение ищем в виде = .
Значения «неопределённых коэффициентов» и вычисляем способом, изложенным в п.2.4 и ниже в примерах.
Пример 2.6. Решить уравнение: , применив метод неопределённых коэффициентов.
Решение. 1) Характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни = , = . Общее решение однородного уравнения = = .
2) Запишем правую часть исходного уравнения в виде . Ей соответствует число . Так как , то имеем резонансный случай и частное решение ищем в виде = .
3) Найдем производные = , = . Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения =3, =1. Это значит, что = .
4) Составим общее решение неоднородного уравнения .
Ответ. Общее решение = + .
Пример 2.7. Решить уравнение , применив «метод неопределённых коэффициентов».
Решение. 1) Характеристические корни уравнения = , = . Общее решение соответствующего однородного уравнения = = .
2) Так как = , частное решение ищем в виде = , где и подлежат вычислению.
3) Найдем производные = , = . Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения , . Это значит, что =
4) Составим общее решение неоднородного уравнения .
Ответ. Общее решение: .
Задание 2.5. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 1322 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!