Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 3-го и 4-го порядков со специальной правой частью

Алгоритм нахождения частного решения неоднородных дифференциальных уравнений n -го порядка со специальной правой частью такой же, как и для неоднородных уравнений 2-го порядка. Отличие состоит лишь в том, что значение показателя в множителе в резонансном случае может быть больше 1.

Пример 2.8. Записать вид частного решения для уравнения: .

Решение. 1) Находим корни характеристического уравнения: =1, то есть число 1 является корнем кратности 3.

2) По виду правой части записываем число .

3) Так как = , частное решение ищем в виде , где и – неопределённые коэффициенты.

Ответ. Частное решение ищем в виде (резонансный случай).

Пример 2.9. Записать вид частного решения для уравнения .

Решение. 1) Характеристические корни .

2) По виду правой части записываем число .

3) Так как с числом совпадает лишь корень кратности 1, то частное решение ищем в виде (резонансный случай).

Ответ. Частное решение ищем в виде .

Пример 2.10. Записать вид частного решения для уравнения .

Решение: 1) Характеристические корни уравнения = , = , =2.

2) По виду правой части записываем число .

3) Так как = , частное решение ищем в виде = (резонансный случай).

Ответ. Частное решение ищем в виде = .

Пример 2.11. Записать вид частного решения для уравнения = .

Решение. 1) Корни характеристического уравнения =2, = = .

2) По виду правой части записываем число .

3) Так как комплексное число не совпадает ни с =2, ни с = , то частное решение уравнения следует искать в виде = (нерезонансный случай).

Ответ. Частное решение ищем в виде = .