Законы фильтрации жидкостей и газов

Движение жидкостей в пористой среде называют фильтрацией. Пористые среды или материалы – это твердые тела, имеющие в достаточно большом количестве пустоты, характерные размеры которых малы по сравнению с размерами тела. Структура пористых материалов может быть весьма разнообразной. Так, самые малые пустоты, в которых силы молекулярного взаимодействия жидкости с твердыми стенками весьма велики, называют молекулярными порами. Противоположностью им являются поры, в которых движение жидкости лишь весьма незначительно зависит от взаимодействия со стенками, и их называют кавернами. Полости, занимающие промежуточное положение между кавернами и молекулярными порами, называют просто порами. Поры могут быть сообщающимися и несообщающимися. Первые образуют активное поровое пространство, а все поры – общее поровое пространство.

Наиболее важная характеристика пористых материалов – пористость, т.е. доля объёма, приходящаяся на поры:

,

где V_п – объём пор; V – объём тела.

При этом пористость можно также разделить на активную и абсолютную (или полную).

Пористость для различных материалов колеблется в достаточно широких пределах:

Песчаники 0,08-0,38

Известняки 0,04-0,10

Глины 0,03-0,48

Бетон 0,02-0,07

Рыхлые пески 0,37-0,50

Кварцевый порошок 0,37-0,49

Для реальных пластов-коллекторов нефти и газа значения m обычно находятся в пределах 0,15-0,22 с возможными отклонениями в ту или другую сторону.

Рассмотрим законы фильтрации. Одним из важнейших законов подземной гидромеханики, на который опираются при разработке математических моделей количественного описания процессов, связанных с извлечением углеводородов из недр, является закон Дарси, который описывает скорость движения жидкости в некоторой проницаемой среде под влиянием перепада давления в разных точках проницаемого пространства. Закон назван по имени его первооткрывателя, французского инженера Анри Дарси, который на основании многочисленных наблюдений и опытов вывел закон фильтрации однородной жидкости или газа в пористой среде. Дарси исследовал фильтрацию воды в грунтах. Все известные законы фильтрации базируются на этом основном законе.

Поток жидкости, движущейся в пористой среде, можно характеризовать его объёмным расходом Q. При этом отношение его к площади поперечного сечения потока S есть скорость фильтрации .

Эта скорость – фиктивная величина, так как жидкость движется лишь по активному поровому пространству и фактическая её скорость будет больше n. Если обозначить через S_п площадь просветов в сечении пористой среды, то фактическая скорость будет

, (4.17)

где – просветность.

Наряду с этим для элементарного объёма пористой среды между сечениями на расстоянии dx, через который протекло количество жидкости , имеем соотношение или

, (4.18)

т.e. . Следовательно, получаем или , т.е. отношение площади просветов к площади сечения образца равно пористости. На этом основании построены микроскопические способы определения пористости.

В теории фильтрации рассматривается скорость фильтрации, для которой по результатам экспериментальных исследований устанавливают математические модели течения. Эти модели или законы фильтрации характеризуют связь между потерями напора при движении жидкости в пористой среде, её свойствами и параметрами жидкостей.

Одним из основных законов фильтрации является закон Дарси, который записывается для одномерного течения в виде

, (4.19)

где k – коэффициент проницаемости пористой среды; m и g – вязкость и удельный вес фильтрующейся жидкости; р₁ и р₂ – давление в сечениях 1 и 2, отстоящих на расстоянии l друг от друга; z₁ и z₂ – высоты положения сечений 1 и 2.

В дифференциальной форме для одномерного фильтрационного потока и при пренебрежении силами тяжести закон Дарси имеет вид

, (4.20)

а в многомерном случае

, (4.21)

где – расстояние между сечениями 1 и 2 вдоль оси абсцисс.

Можно записать следующим образом:

; ; ;

(4.22)

,

где i, j, k – единичные орты по осям.

Знак минус в этих выражениях указывает на противоположность направлений скорости фильтрации и градиента давления.

В приведенных выражениях фигурирует характеристика очень важного свойства пористой среды – коэффициент проницаемости, который имеет размерность площади

.

На практике коэффициент k часто измеряется единицей, называемой Дарси (Д). За единицу проницаемости 1Д принимают проницаемость такой пористой среды, при фильтрации через образец которой площадью 1 см², длиной 1 см при перепаде давления в 1 кгс/см² (98000 Па) расход жидкости вязкостью 1 сПз (1 ), составляет 1 см³/с, т.е. м².

Проницаемость реальных пористых пластов изменяется от нескольких миллидарси (мД) до нескольких дарси.

Под проницаемостью пористой среды понимается свойство пропускать через себя жидкость или газ под действием приложенного градиента давления, т.е. это проводимость пористой среды по отношению к жидкости или газу.

Для трещиноватых пластов закон Дарси имеет такую же форму

, (4.23)

Однако в формуле (4.23) коэффициент проницаемости заменяется на коэффициент трещинной проницаемости, который определяется по формуле (4.5)

,

где b – средняя ширина трещин; Г – густота трещин, вычисляемая по формуле (4.4).

Дальнейшее изучение процесса фильтрации жидкостей и газов различными учёными позволило путём ввода соответствующих поправок и изменений распространить этот закон на все практически значимые случаи фильтрации.

Для газа при изотермическом течении и пренебрежении его массой (т.е. при изотермической фильтрации газа) в одномерном случае закон Дарси имеет вид

, (4.24)

где b – константа, являющаяся характеристикой газа в пористой среде. Сомножитель введен Клинкенбергом, учитывает эффект скольжения газа вдоль стенок пор (эффект Клинкенберга), который проявляется при небольших давлениях, и в этом случае коэффициент проницаемости по жидкости

, (4.25)

где – среднее давление газа в фильтрационном потоке.

Следует отметить, что коэффициент проницаемости измеряют обычно с помощью газа. При этом необходимо проводить измерения при нескольких значениях среднего давления, что позволяет установить константу b в экспериментах согласно закону Дарси.

Очень часто в процессе разработки приходится иметь дело с фильтрацией многофазных систем, т.е. когда в поровом пространстве перемещаются нефть с водой, нефть с газом или трехфазная смесь нефть – вода – газ. В этом случае проницаемость поровой среды различна для разных фаз и теоретическое описание процессов движения многокомпонентной среды многократно усложняется.

В современных задачах нефтедобычи с фильтрацией многокомпонентных жидкостей связан один из основных вопросов – вопрос о повышении коэффициента нефтеотдачи месторождений, разрабатываемых при помощи методов поддержания пластового давления закачкой воды или других вытесняющих агентов.

Проницаемость порового пространства для каждой из фаз многокомпонентной среды называют фазовой проницаемостью. Её величина в основном зависит от насыщенности порового пространства данной фазой, т.е. от доли S_i данного компонента в общем объёме насыщенной среды.

При рассмотрении фильтрации многокомпонентных смесей пользуются понятием относительной фазовой проницаемости k_i(S_i). В отличие от абсолютной проницаемости k [м²] относительная фазовая проницаемость безразмерна и выражается отношением коэффициента фазовой проницаемости k_i данной компоненты при фильтрации смеси к коэффициенту абсолютной проницаемости (т.е. когда не смесь, а одна компонента).

В таком случае

. (4.26)

Если смесь двухфазная (например, нефть – вода), то для этого случая насыщенность проницаемого пространства одной фазой однозначно определяет насыщенность его другой

, откуда . (4.27)

Следует также отметить, что при течении жидкости через пористую среду, которая насыщена пластовым флюидом, проницаемость зависит от насыщенности им пористой среды. Так, относительная или фазовая проницаемость для воды и нефти в зависимости от водонасыщенности представлена на рисунке 4.10. При таком течении для каждой из фаз справедлив закон Дарси, но его следует записывать в виде

, (4.28)

где – вектор скорости потока; k_ф – относительная или фазовая проницаемость.

При фильтрации неоднородной жидкости или смесей жидкости и газа справедлив закон двухфазной фильтрации. В случае, например, совместной фильтрации нефти и воды формула закона фильтрации для прямолинейного движения записывается в следующем виде:

; , (4.29)

где n_н – вектор скорости фильтрации нефти; n_в – вектор фильтрации воды; k_н(S), k_в(S) – относительные проницаемости соответственно для нефти и воды, зависящие от водонасыщенности S; р_н и р_в – давление соответственно в нефти и воде.

Рисунок 4.10 – Изменение относительной или фазовой проницаемости для воды (1) и нефти (2) в песчаном коллекторе в зависимости от водонасыщенности		Рисунок 4.11 – Кривые фазовой проницаемости нефти в тройной системе типа нефть – вода – газ

Обратим внимание на тот факт, что относительные проницаемости не могут быть больше единицы, но и сумма их для двухфазных систем не при любом значении насыщенности равна единице. Значения фазовых проницаемостей зависят от типа пористой среды, насыщающих жидкостей и числа фаз. Так, для тройной системы вода – нефть – газ фазовые проницаемости для каждой из компонент представлены на рисунке 4.11.

Во многих случаях на движение в пласте веществ существенное влияние оказывает гравитационное поле Земли – сила тяжести. Влияние этой силы на разработку месторождений необходимо учитывать:

· при движении в пласте разнородных веществ, значительно отличающихся по плотности (например, нефти и газа);

· при значительной толщине пластов;

· при разработке нефтяных залежей, подстилаемых водой;

· при образовании водо- и газонефтяных конусов и т.д.

При двухфазной фильтрации газа и нефти с учётом гравитации используют следующие выражения для вертикальных компонент скорости фильтрации нефти и газа:

;

(4.30)

,

где p – давление, принимаемое одинаковым в газовой и нефтяной фазах.

Графики относительных проницаемостей для нефти и воды имеют вид, показанный на рисунке 4.12, на котором по оси абсцисс отмечены две характерные точки: S_св и S_*. В точке относительная проницаемость для воды равна нулю, так что . В точке относительная проницаемость для нефти , несмотря на то, что в точке в пласте присутствует вода, а в точке имеется нефть. Однако при вода, содержащаяся в пористой среде пласта, диспергирована, раздроблена или, если это связанная вода, занимает преимущественно углы между зернами породы, тупиковые поры и т.д. Нефть, имеющаяся в пласте при , также диспергирована, занимает в пористой среде тупиковые места и вытесняться из пласта не может. Аналогичные зависимости можно построить и для двухфазной фильтрации жидкости и газа. Одновременная фильтрации нефти, воды и газа изучена в меньшей степени, чем совместная фильтрация двух из этих веществ. При расчётах процессов разработки нефтяных месторождений, в которых возникает одновременная фильтрация нефти, воды и газа (трехфазная фильтрация), можно пользоваться следующим приёмом. Вначале берут относительные проницаемости при двухфазной фильтрации жидкости (нефти и воды) и газа, для которой известны зависимости относительных проницаемостей для газа и жидкости и от насыщенности пористой среды газом S_г и жидкостью S_ж. Поскольку

Рисунок 4.12 – Графики зависимости k_н и k_в от S_св и S

; , (4.31)

где S_в, S_н – соответственно насыщенности пласта водой и нефтью, можно написать следующие выражения:

; . (4.32)

Затем учитывают уже относительные проницаемости для нефти k_н(S) и воды k_в(S), определяя S из (4.32). Таким образом, формула закона совместной фильтрации газа, нефти и воды (многофазной фильтрации) принимает следующий вид:

;

; (4.33)

.

Здесь р_г, р_н, р_в – давление соответственно в газе, нефти и воде.

Знание насыщенности порового пространства жидкой фазой имеет первостепенное значение в расчётах процессов разработки.

Во всех рассмотренных случаях скорость фильтрации пропорциональна градиенту давления, т.е. она линейно зависит от градиента давления. Известны также нелинейные зависимости скорости фильтрации от градиента давления. Соответствующие законы фильтрации называют нелинейными законами фильтрации. Нелинейность законов фильтрации обычно связывают с тремя причинами: с проявлением инерционных сил при повышенных скоростях фильтрации, с деформацией горных пород и, как следствие, с линейным изменением проницаемости пород пласта от давления, а также с неньютоновскими свойствами движущихся в пласте веществ. При этом нелинейная связь скорости фильтрации и градиента давления свойственна только нелинейным законам, обусловленным действием инерционных сил и проявлением неньютоновских свойств насыщающих пласт веществ. Нелинейность закона фильтрации, вызванная деформацией горных пород, есть скорее проявление нелинейной зависимости проницаемости пород от давления.

При течении природных флюидов в особенности в трещиноватых средах наблюдается отклонение от закона Дарси, связанное с проявлением инерционных сил, аномальными вязкостными свойствами, раскрытостью трещин и др. Течение жидкостей сквозь пористую среду подчиняется закону Дарси при малых скоростях течения, значение которых удовлетворяет, по В.Н. Щелкачёву, следующему условию:

, (4.34)

где левая часть неравенства носит название числа Рейнольдса; r – плотность жидкости; m – пористость пласта.

При нарушении указанного условия линейный закон фильтрации Дарси нарушается, поэтому используют следующие формулы.

При зависимость между расходом и градиентом давления выражается законом Краснопольского – Шези

. (4.35)

При по закону фильтрации Смрекера

. (4.36)

Эксперименты показывают, что при числах Рейнольдса, больших, чем критические, градиент давления пропорционален квадрату скорости фильтрации. При числах же Рейнольдса меньше критических, когда справедлив закон Дарси, градиент давления линейно зависит от скорости фильтрации. Естественно, возникла мысль объединить закон Дарси и закон квадратичной зависимости градиента давления от скорости фильтрации. Этот объединённый закон получил название двучленного закона фильтрации, формула которого имеет следующий вид:

, (4.37)

где a – коэффициент, определяемый экспериментальным путём.

Квадратичная зависимость скорости фильтрации от градиента давления, представляющая собой закон Форхгеймера, практически может наблюдаться только при фильтрации газа в призабойных зонах или при фильтрации нефти в породах с чисто трещинной пористостью. В последнее десятилетие эта двучленная зависимость находит большее распространение, чем степенная. Коэффициенты как в степенной, так и в двучленной зависимости не являются коэффициентами проницаемости – это некоторые размерные параметры течения, зависящие от свойств жидкостей и пористой среды. Законы типа Краснопольского – Шези, Смрекера и Форхгеймера не обладают универсальностью закона Дарси, но они охватывают область течений в трещинных и порово-трещинных коллекторах, что важно для прикладных задач в бурении. Для описания течения жидкости в поглощающих пластах указанные зависимости оказываются весьма полезными.

Для практики бурения представляет интерес обобщённый закон Дарси, который охватывает течение вязкопластических жидкостей в пористой среде (парафинистые нефти, конденсат и др.) и записывается (А.X.Мирзаджанзаде) в виде

, (4.38)

где G – начальный градиент давления для пористой среды, при которой начинается движение жидкости в ней. Для обобщенного закона Дарси при и при . Для одномерной фильтрации обобщённый закон Дарси можно записать в виде

, (4.39)

где Dр – текущий перепад давления; Dр_о – перепад давления, необходимый для преодоления предельного напряжения сдвига в пористом образце длиной l.

Значение Dр_о определяется по формуле

, (4.40)

где t_о – предельное напряжение сдвига для вязкопластичной жидкости; k – коэффициент проницаемости; a – постоянный коэффициент, зависящий от характеристик пористой среды и равный

.

В соответствии с указанным для вязкопластичной жидкости можно записать в одномерном случае

, (4.41)

т.е. при жидкость будет течь в пористой среде. Указанная зависимость позволяет найти глубину проникновения вязкопластичной жидкости в пористую среду при перепаде Dр. Жидкость остановится после проникновения на расстоянии L, определяемом из условия

, (4.42)

т.е. .

Рассмотренные законы движения природных флюидов в пластах показывают, что наиболее важными свойствами пластов, без которых невозможно дать количественную оценку различных систем разработки, являются проницаемость k, пористость m и свойства насыщающих пластов (относительная проницаемость, насыщение, вязкость, предельное напряжение сдвига и др.).