Вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории

Для упрощения математических выкладок выведем основное уравнение для идеального газа, находящегося в сосуде кубической формы (рис. 15.1). Будем считать, что газ однороден (состоит из одинаковых молекул) и находится в состояния теплового равновесия.

Vj Рис.15.1

Скорости теплового движения молекул газа, как показывает опыт, могут быть различными у разных молекул. Обозначим через и скорость и массу j -ой молекулы (j = 1, 2,...,N -номер молекулы, N - общее число молекул в сосуде). Скорость молекулы можно представить в виде векторной суммы ее составляющих вдоль выбранных осей координат (см. рис.15.1):

. (15.1)

Рассчитаем давление газа на правую заштрихованную (рис.15.1) стенку сосуда.

Для описания движения молекул газа и их взаимодействия со стенкой сосуда воспользуемся законами Ньютона.

Силу , действующую на стенку в момент удара со стороны -ой молекулы, можно найти по третьему закону Ньютона, если предварительно найти силу , действующую на молекулу со стороны стенки:

. (15.2)

Силу определим с помощью второго закона Ньютона, в соответствии с которым изменение импульса молекулы численно равно импульсу действующей на нее силы:

, (15.3)

где - изменение импульса молекулы, - продолжительность удара молекулы о стенку.

Рис.15.2

При абсолютно упругом ударе молекулы о стенку изменяется лишь направление составляющей скорости на противоположное (рис. 15.2), поэтому полное изменение импульса молекулы при ударе (с учетом направлений составляющей до и после удара)

. (15.4)

Подставим выражение (15.4) в (15.3)

или с учетом равенства (15.2)

. (15.5)

Из этого выражения можно было бы найти модуль силы, но неизвестна продолжительность удара . Поэтому заменим кратковременно действующую силу (характер ее изменения во времени показан на рис.15.3) "эквивалентной" ей постоянной силой таким образом, чтобы импульс этой силы за время между двумя последовательными ударами равнялся бы импульсу силы , то есть

Рис.15.3

. (15.6)

Подставим выражение (15.6) в (15.5):

, (15.7)

отсюда:

(15.8)

Промежуток времени равен

, (15.9)

так как между двумя ударами об одну и ту же стенку молекула проходит вдоль оси X расстояние со скоростью (рис. 15.4).

Рис.15.4

Подставим (15.9) в (15.8) и спроектируем полученное векторное уравнение на ось х, тогда получим для средней силы удара одной молекулы выражение:

^. (15.10)

Средняя сила удара всех N молекул будет равна

^. (15.11)

Разделив (15.11) на площадь грани куба S=l², найдем давление газа

^. (15.12)

Аналогично для сторон куба в направлении осей Y и Z:

и ^.

Так как давление газа одинаково во всех направлениях, то

и

или

^. (15.13)

Учитывая, что (V - объем газа), и, выражая квадрат скорости молекул на основании формулы (15.1)

, (15.14)

получим из (15.13)

, (1.15)

или

, (15.16)

где - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул в объеме V.

Выражение (15.16) представляет собой основное уравнение молекулярно-кинетической теории для идеального газа. Из него следует, что произведение давления идеального газа на его объем равно двум третям суммарной кинетической энергии поступательного движения всех молекул в данном объеме.