Статистический метод исследования систем. Понятие о случайной величине и функции распределения

Основные понятия и исходные положения

Термодинамической системой (или просто - системой) называется всякий материальный объект (газ, жидкость и т.д.), состоящий из большого числа частиц.

Размеры системы всегда значительно больше размеров составляющих ее частиц (атомов, молекул или ионов).

Система может находиться в различных состояниях, характеризуемых совокупностью некоторых параметров.

Термодинамическими параметрами (или параметрами состояния) системы называются физические величины, служащие для характеристики состояния системы.

В качестве термодинамических параметров используются температура , давление , объем и другие величины. Эти величины называют также макроскопическими параметрами, а описываемое ими состояние - макроскопическим состоянием (макросостоянием).

Состояние системы называется равновесным, если все ее параметры остаются неизменными произвольно долгое время при постоянных внешних условиях.

Равновесное состояние системы может быть изображено точкой. Например, на рис.12.1.а точка 1 соответствует равновесному состоянию системы, имеющему давление и объем .

Состояние системы, в котором хотя бы один из параметров не имеет определенного значения, называется неравновесным.

Неравновесное состояние не может быть изображено таким же способом, как равновесное.

Термодинамическим процессом называется процесс перехода системы из одного состояния в другое.

Всякий термодинамический процесс связан с нарушением равновесия системы. Следовательно, при протекании какого-либо процесса система последовательно проходит через неравновесные состояния. Однако, при достаточно медленном протекании реального процесса (например, медленное сжатие газа, находящегося в цилиндре под поршнем) состояние системы в каждый момент времени можно считать равновесным, и бесконечно медленный процесс будет состоять из последовательных равновесных состояний. Таким образом, процесс называется равновесным или квазистатическим, если он состоит из последовательных равновесных состояний.

В качестве примера на рис.12.1.а изображен равновесный процесс перехода системы из состояния 1 в состояние 2. Неравновесные процессы условно изображаются штриховыми линиями (рис.12.1.б).

Отметим, что бесконечно медленный процесс является абстракцией. Практически можно считать квазистатическим процесс, протекающий настолько медленно, что отклонения значений параметров от равновесных пренебрежимо малы.

При изменении направления равновесного процесса (например, замене сжатия газа расширением) система будет проходить через те же состояния, что и при прямом процессе, но в обратной последовательности. Поэтому равновесные процессы являются обратимыми.

Круговым процессом или циклом называют такой процесс, в результате которого термодинамическая система возвращается в исходное состояние.

Графически равновесные круговые процессы изображаются в виде замкнутых кривых (рис.12.1.в). Это связано с тем, что двум тождественным состояниям (в рассматриваемом случае - началу и концу кругового процесса) соответствует одна и та же точка.

Параметры состояния системы, находящейся в равновесном состоянии, связаны между собой определенной функциональной зависимостью типа

(12.1)

или, например,

. (12.2)

Соотношение типа (12.1) или (12.2), определяющее связь между параметрами состояния какой-либо системы, называется уравнением состояния системы.

Уравнение состояния в статистической физике выводится теоретически, а в термодинамике получается опытным путем, и в этом состоит взаимосвязь статистического метода исследования с термодинамическим методом.

Молекулярная физика базируется на молекулярно-кинетической теории строения вещества, исходными положениями которой являются следующие:

- все вещества состоят из очень большого числа частиц (атомов, молекул или ионов), находящихся в непрерывном хаотическом движении (это движение называется тепловым);

- частицы вещества взаимодействуют между собой, причем это взаимодействие существенно зависит от типа частиц и расстояния между ними.

В данном пособий рассматривается вещество преимущественно в газообразном состоянии.

Статистический метод исследования систем. Понятие о случайной величине и функции распределения

Для описания совокупности большого числа хаотически движущихся частиц предполагается, что каждая частица движется по законам механики. Однако было бы бесполезно пытаться описать свойства этой системы методами механики ввиду чрезвычайно большого числа частиц, входящих в данную систему (в 1 см³ газа содержится ~10¹⁹ молекул).

Кроме того, подобная система имеет такие свойства, которых нет у отдельных частиц (например, давление). В связи с этим для описания системы частиц требуются иные методы, отличные от методов механики.

Основная задача молекулярной (статистической) физики заключается в установлении связи макроскопических свойств системы со свойствами и законами движения микрочастиц, составляющих систему.

Для решения поставленной задачи используется математическая теория вероятностей, которая была разработана для массовых явлений, например, таких, в которых участвует большое число частиц. Метод описания, использующий теорию вероятностей, называют статистическим методом, а закономерности, выявляемые с помощью этого метода - статистическими закономерностями. Этот метод оперирует некоторыми специальными понятиями, из которых при изучении молекулярно-кинетической теории будут использоваться следующие: случайная величина, вероятность распределения, среднее значение случайной величины.

Случайными величинами называются величины, которые меняют свое значение от испытания к испытанию, от случая к случаю.

Для изучения физических явлений производят наблюдения и опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов (например, при измерении температуры тела). В этом случае говорят, что результат измерения есть величина случайная.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной случайной величиной будет число молекул в некоторой малой области газа из его общего объема, так как оно будет меняться со временем и принимать только значения целых положительных чисел. В качестве непрерывной случайной величины можно привести скорость молекулы газа. Это векторная случайная величина, модуль которой может принимать любые значения от нуля до бесконечности и которая может иметь самые различные направления.

Случайная величина может принимать разные числовые значения. Например, при неоднократном измерении длины стержня с помощью штангенциркуля в общем случае получатся хотя и близкие, но все-таки различные результаты. Одинаковые результаты могут иногда повторяться. В теории вероятности принято называть появление того или иного результата при многократных испытаниях случайным событием, а количественно характеризовать его совершение - вероятностью.

Пусть случайная величина была измерена раз, при этом численное значение повторилось раз, - раз и т.д. Отношение называют относительной частотой совершения случайного события , то есть появления результата , а предел этого отношения при устремлении к бесконечности - вероятностью () данного случайного события:

_.

Иногда под вероятностью понимают само отношение , подразумевая, что .

Функцией распределения называют некоторое математическое выражение (с соответствующим графическим отображением), определяющее относительную долю числа частиц (от общего их числа в веществе), приходящихся на единичный диапазон изменения какой-либо случайной величины.

Если обозначить через общее число частиц, а через - число частиц, приходящихся на интервал изменения некоторой случайной величины , то функция распределения числа частиц вещества по значениям случайной величины будет иметь вид

(13.1)

Рассмотрим пример, иллюстрирующий смысл функции распределения.

Рис.13.1

Пусть в ящик, разделенный перегородками на ряд узких отсеков (рис.13.1) одинаковой ширины и закрытый несколькими слоями металлической сетки, через воронку насыпается мелкий сухой песок. Падая из воронки, песчинки будут неоднократно ударяться о сетку и отклоняться от первоначального направления движения. Вследствие случайных отклонений песчинка может попасть в любой из отсеков. Тем не менее, в распределении частиц по отсекам имеется закономерность: во всех опытах в отсек под воронкой попадает наибольшее число песчинок, а по мере удаления от этого отсека число песчинок в отсеках уменьшается.

Рис 13.2.а

На рис.13.2.а изображена ступенчатая диаграмма распределения песчинок по отсекам: - число песчинок (из общего их числа ) в одном из отсеков шириной ; отношение - это число песчинок, приходящихся на единицу длины, следовательно, площадь каждого прямоугольника численно равна числу песчинок, содержащихся в данном отсеке (), а площадь фигуры, образованной диаграммой и осью , равна общему числу песчинок в ящике ().

В рассмотренном примере имеется распределение песчинок по координате . Случайной величиной является отклонение частиц от средней точки 0 (то есть координата ).

Рис.13.2.б

При уменьшении ширины отсека (в пределе ) ступенчатая ди-аграмма перейдет в плавную линию, при этом, если по оси ординат откладывать значения , то площадь фигуры под кривой

распределения (рис.13.2.б) будет равна единице ().

Одной из важнейших характеристик статистических распределений является среднее значение случайной величины. Дадим определения среднему арифметическому и среднему квадратичному значениям случайной величины.

Среднее арифметическое значение случайной величины определяется из соотношения:

^, (13.2)

где - результат j -го измерения случайной величины ;

- число измерений.

Среднее квадратичное значение случайной величины определяется из соотношения:

^. (13.3)

В теории вероятности доказывается, что знание вида функции распределения для некоторой случайной величины дает возможность определить ее среднее арифметическое и среднее квадратичное значение по формулам:

, (13.4)

. (13.5)