Определение параметров цифрового регулятора методом переменного коэффициента усиления

Исследование системы регулирования, проведенное в предыдущем параграфе, осуществлялось при постоянном коэффициенте цифрового регулятора, при . Очевидно, что улучшить динамические показатели системы можно путем изменения коэффициента усиления регулятора на каждом интервале дискретности.

Рассмотрим вопрос о получении оптимального переходного процесса при подаче на вход ступенчатого воздействия. Под оптимальным будем понимать процесс, который без перерегулирования достигает установившегося значения за минимальное число интервалов дискретности. Считаем, как это принято в большинстве случаев, что ЭВМ мгновенно преобразует входной сигнал

.

В этом случае переходную матрицу можно представить в виде функции коэффициента усиления , который внутри интервала дискретности постоянный, но меняется от интервала к интервалу [25]. Тогда выражение (5-38), с учетом переменности коэффициента усиления, запишется как

,

где – переходная матрица, являющаяся функцией коэффициента усиления на первом интервале.

Для второго интервала дискретности имеем

,

где – переходная матрица, которая является функцией на втором интервале дискретности, а вектор – является функцией двух коэффициентов и .

Рассуждая подобным образом можно записать общее выражение

, где – функция одного коэффициента усиления , а - функция предшествующих коэффициентов усиления .

Неизвестные коэффициенты усиления могут быть получены из ограничений, положенных на систему. Для системы второго порядка таких ограничений должно быть два: фазовая координата в конце второго интервала дискретности должна равняться входному сигналу, а фазовая координата – должна быть равна нулю. Выполнение первого условия соответствует отработке задания, выполнение второго условия – отсутствие колебаний между интервалами дискретности.

Система третьего порядка характеризуется тремя неизвестными коэффициентами усиления. Поэтому выходная величина достигает установившегося значения через три интервала дискретности, а координаты и , должны быть равны нулю, что гарантирует отсутствие колебаний в системе при .

Для реализации цифрового регулятора необходимо иметь Z-передаточную функцию или разностное управление. Расчет системы регулирования методом пространства состояния позволяет определить координату в конце каждого интервала дискретности, что, используя теорему сдвига, позволяет определить Z-преобразование входной последовательности

. (5-43)

При известных коэффициентах усиления по выражению (5-43) находим Z-изображение выходной последовательности

. (5-44)

А затем и Z-передаточную функцию цифрового регулятора как отношение выходного сигнала к входному сигналу

.

Таким образом, задача оптимального управления сводится к определению констант усилительного элемента для каждого интервала дискретности.

Для иллюстрации данного метода рассмотрим несколько примеров.