Способы обнаружения систематических погрешностей

Результаты наблюдений, полученные при наличии система­тических погрешностей, будем называть неисправленными и в от­личие от исправленных ставить штрихи в их обозначении (на­пример, Х' ₁, Х' ₂ и т. д.). Вычисленные в этих условиях средние арифметические значения и отклонения от результатов наблюде­ний v' _i. будем также называть неисправленными и ставить штри­хи у символов этих величин. Таким образом,

Поскольку неисправленные результаты наблюдений включа­ют в себя систематические погрешности, сумму которых для ка­ждого i -го наблюдения будем обозначать через Θ _i, то их математи­ческое ожидание не совпадает с истинным значением измеряе­мой величины и отличается от него на некоторую величину Θ, называемую систематической погрешностью неисправленного среднего арифметического. Действительно:

Если систематические погрешности постоянны, т. е. Θ _i, = Θ, i = 1, 2,…, n, то неисправленные отклонения могут быть непо­средственно использованы для оценки рассеивания ряда наблю­дений. В противном случае необходимо предварительно испра­вить отдельные результаты измерений, введя в них так называе­мые поправки, равные систематическим погрешностям по величине и обратные им по знаку: q = -Θ_i,

Таким образом, для нахождения исправленного среднего арифметического и оценки его рассеивания относительно ис­тинного значения измеряемой величины необходимо обнару­жить систематические погрешности и исключить их путем вве­дения поправок или соответствующей каждому конкретному случаю организации самого измерения.

Остановимся подробнее на некоторых способах обнаружения систематических погрешностей.

Постоянные систематические погрешности не влияют на значения случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических, поэтому никакая математическая обра­ботка результатов наблюдений не может привести к их обнаруже­нию. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях, получае­мых, например, при поверке средств измерений. Измеряемая ве­личина при поверке обычно воспроизводится образцовой мерой, действительное значение которой известно. Поэтому разность между средним арифметическим результатов наблюдения и зна­чением меры с точностью, определяемой погрешностью аттеста­ции меры и случайными погрешностями измерения, равна иско­мой систематической погрешности.

Ценность полученных при поверке результатов определяется их постоянством в течение некоторого промежутка времени и независимостью от тех изменений внешних условий, которые допустимы при эксплуатации средств измерений с заданной точ­ностью. Тогда полученные при поверке данные могут быть ис­пользованы для вычисления поправок, необходимых для исправ­ления результатов наблюдений.

Одним из наиболее действенных способов обнаружения сис­тематических погрешностей в ряде результатов наблюдений яв­ляется построение графика последовательности неисправленных значений случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических.

Вначале рассмотрим случай, когда в ряде результатов наблю­дений предполагается наличие постоянной систематической по­грешности. Для того чтобы удостовериться в этом, исследова­тель, сделав несколько измерений, заменяет некоторые меры или измерительные приборы, включенные в установку и являю­щиеся предполагаемыми источниками постоянных систематиче­ских погрешностей, другими мерами и измерительными прибо­рами и проводит еще несколько измерений.

Рассматриваемый способ обнаружения постоянных система­тических погрешностей можно сформулировать следующим об­разом: если неисправленные отклонения результатов наблюде­ний резко изменяются при изменении условий наблюдений, то данные результаты содержат постоянную систематическую по­грешность, зависящую от условий наблюдений.

При прогрессивной систематической погрешности последо­вательность неисправленных отклонений результатов наблюде­ний обнаруживает тенденцию к возрастанию или убыванию. На рис. 1.2 изображена зависимость погрешности измерения от длины измеряемой детали.

Несмотря на большие случайные изменения погрешности, тенденция к увеличению ее в отрицательном направлении с рос­том измеряемой величины явно обнаруживается. Если бы слу­чайные погрешности были невелики, то значения неисправлен­ных отклонений меняли бы свой знак при некотором среднем значении измеряемой величины. Случайные погрешности не­сколько искажают эту картину, однако, если они даже одного порядка малости с систематическими погрешностями, в после­довательности знаков можно заметить некоторую неравномер­ность: неисправленные отклонения результатов одного знака чаще встречаются в отрицательной полуплоскости, чем в поло­жительной.

Если же в ряде результатов наблюдений присутствует перио­дическая систематическая погрешность, то группы знаков плюс и минус в последовательности неисправленных отклонений ре­зультатов наблюдений могут периодически сменять друг друга, если, конечно, случайные погрешности не особенно велики.

Обобщая два рассмотренных случая, можно сказать: если по­следовательность знаков плюс сменяется последовательностью знаков минус или наоборот, то данный ряд результатов наблю­дений обнаруживает прогрессивную погрешность, если группы знаков плюс и минус чередуются — периодическую погреш­ность.