Моменты случайных погрешностей

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведе­ние весьма кропотливых научных исследований и обширных вы­числительных работ. Поэтому к такому способу описания слу­чайных погрешностей прибегают иногда при исследовании принципиально новых мер и измерительных приборов.

Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать слу­чайные погрешности с помощью ограниченного числа специаль­ных величин, называемых моментами [3].

Начальным моментом n -го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

представляющий собой математическое ожидание степени Xⁿ.

При n = 1

т. е. первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов измерений.

Центральным моментом n -го порядка результатов наблюде­ний называется интеграл вида

Вычислим первый центральный момент:

Таким образом, первый центральный момент результатов на­блюдений равен нулю.

Важно отметить, что начальные и центральные моменты слу­чайных погрешностей совпадают между собой и с центральными моментами результатов наблюдений, поскольку математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Особое значение наряду с математическим ожиданием ре­зультатов наблюдений имеет второй центральный момент, назы­ваемый дисперсией результатов наблюдений.

При n = 2

Дисперсия D[X] случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой их рассеи­вания относительно математического ожидания.

Если математическое ожидание результатов наблюдений можно рассматривать в механической интерпретации как абс­циссу центра тяжести фигуры, заключенной между кривой рас­пределения и осью 0х, то дисперсия является аналогом момента инерции этой фигуры относительно вертикальной оси, проходя­щей через центр тяжести.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величи­ны, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней использу­ется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением результатов наблюдений:

С помощью среднеквадратического отклонения можно оце­нить вероятность того, что при однократном наблюдении случай­ная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некото­рой наперед заданной величины е, т. е. вероятность Р {|5|} < ε.

Для этого рассмотрим формулу, известную как неравенство Чебышева

или

Полагая ε = 3δ_x, можно найти вероятность того, что результат однократного наблюдения отличается от истинного значения на величину, большую утроенного среднеквадратического отклоне­ния, т. е. вероятность того, что случайная погрешность окажется больше 3δ_x

Вероятность того, что погрешность измерения не превы­сит 3δ_x, составит соответственно

Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми характеристиками, поскольку они опреде­ляют наиболее важные черты распределения: положение центра распределения и степень его разбросанности. Для более подроб­ного описания распределения используются моменты более вы­соких порядков.

Третий момент случайных погрешностей служит характери­стикой асимметрии, или скошенности распределения. В общем случае любой нечетный момент случайной погрешности харак­теризует асимметрию распределения.